Fracción continuada: Por favor, demuestre $\frac{1}{e \gamma (x+1,1)}=x+\frac{1}{x+1+\frac{2}{x+2+\frac{3}{x+3+\frac{4}{\dots}}}}$

Question

He estado jugando con Mathematica y las fracciones continuas y me he dado cuenta de algo.

ContinuedFractionK[n, n + x, {n, 1, Infinito}] ==-x + 1/(E Gamma[1 + x] - E Gamma[1 + x, 1])==-x + 1/(E Gamma[1 + x, 0, 1])

$$\underset{n=1}{\overset{\infty }{K}}\frac{n}{n+x}=\frac{1}{e \gamma (x+1,1)}-x$$

En una notación más tradicional, esto significa

$$\frac{1}{e \gamma (x+1,1)}=x+\frac{1}{x+1+\frac{2}{x+2+\frac{3}{x+3+\frac{4}{\dots}}}}$$

He comprobado que esto es cierto para todos los x que he probado incluyendo números complejos de cientos de dígitos. No sé cómo demostrar mi resultado y me gustaría una prueba. Mathematica puede verificar $x\in\{0,1\}$ . Si se falla en la prueba de todo x, la prueba con x siendo otro número específico, por ejemplo, 2, obtiene un crédito parcial.

PS. $\gamma (a,b)$ es el función gamma incompleta inferior .

Nota: Para números enteros x, tenemos $$\frac{1}{e*x!-A000522(x)}=x+\frac{1}{x+1+\frac{2}{x+2+\frac{3}{x+3+\frac{4}{\dots}}}}$$ https://oeis.org/A000522

Esta es la historia de mi descubrimiento: Me di cuenta de que ContinuedFractionK[n, n, {n, 1, Infinity}] era $\frac{1}{e-1}$ y ContinuedFractionK[n, n + 1, {n, 1, Infinito}] fue $\frac{1}{e-2}-1$ . Como las respuestas eran ambas fracciones de e, pensé que podría encontrar un patrón. FracciónContinuaK[n, n + 2, {n, 1, Infinito}] y siguientes no dieron resultados, pero no dejé que eso me detuviera. Calculé N[ContinuedFractionK[n, n + 2, {n, 1, 10000}], 190] para una aproximación y pegué los primeros 190 dígitos en Wolfram Alpha, donde me sugirió la posible forma cerrada de $\frac{11-4 e}{2 e-5}$ . La forma cerrada coincidía con todos los dígitos. Volví a utilizar Wolfram Alpha para averiguar N[ContinuedFractionK[n, n + 3, {n, 1, 10000}], 190] sugerido $\frac{49-18 e}{2 (3 e-8)}$ y que N[ContinuedFractionK[n, n + 4, {n, 1, 10000}], 190] sugirió $-\frac{3 (32 e-87)}{24 e-65}$ . Wolfram Alpha no pudo ser de más ayuda con las formas cerradas, así que hice una lista de lo que sabía, usé las funciones Expand[] y FullSimplify[] sobre ella para obtener: $\left\{\frac{1}{e-1},\frac{1}{e-2}-1,\frac{1}{2 e-5}-2,\frac{1}{6 e-16}-3,\frac{1}{24 e-65}-4\right\}$ . Los números de los e eran obviamente $x!$ fuera de la fracción era $x$ . Esto dejó los números {1,2,5,16,65}. Una búsqueda encontró esto: https://oeis.org/A000522 con la fórmula a(n) = e*Gamma(n+1,1) Conjeturé entonces que ContinuedFractionK[n, n + x, {n, 1, Infinito}] $=\frac{1}{e \Gamma (x+1)-e \Gamma (x+1,1)}-x$ . Todas las x que he probado en el plano complejo han demostrado que esto es correcto.

Answer 1

O. Perron, La doctrina de las fracciones continuas Capítulo XI, Sección 81.

He aquí la fórmula (8), p. 477 (en la 2ª edición, 1922) $$\gamma-x + \underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathbf K}}\; \frac{(\beta+n)x}{\gamma-x+n} = \frac{{}_1F_1(\beta,\gamma,x)\;\gamma}{{}_1F_1(\beta+1,\gamma+1,x)} \tag{8}$$ $(x \ne 0, \beta\ne -1, -2, -3, \dots)$ . La referencia es [1].

Haciendo las sustituciones oportunas, obtenemos el suyo como $$x+\underset{n=1}{\overset{\infty }{\mathbf K}}\; \frac{n}{x+n} = \frac{{}_1F_1(0,x+1,1)\;(x+1)}{{}_1F_1(1,x+2,1)} =\frac{(x+1)}{{}_1F_1(1,x+2,1)} .$$ Evaluar la serie ${}_1F_1(1,x+2,1)$ para obtener su respuesta.

[1] O. Perron, "Sobre una clase especial de fracciones continuas". Rendir. Pal. 29 (1910)