Duda sobre derivados en variable compleja

Question

En realidad, he tenido esta duda existencial, mientras trabajaba en mi tarea. Es obvio que, si tengo una secuencia $\{z_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ que converge a$z_0$, $$\dfrac{f(z_n) - f(z_0)}{z_n - z_0} \longrightarrow f'(z_0) \quad \text{as} \,\, n \rightarrow \infty$$

Lo que no es bastante obvio para mí, pero parece razonable, al menos, es que si tengo dos secuencias de $\{z_n\}_{n\in\mathbb{N}}$$\{w_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, convergencia de a $z_0$, luego $$\dfrac{f(z_n) - f(w_n)}{z_n - w_n} \longrightarrow f'(z_0) \quad \text{as} \,\, n \rightarrow \infty$$

He tenido algunos malos momentos tratando de demostrar esta delimitación de las diferencias (soy bastante malo delimitador ._.), así que era incapaz de elaborar un proyecto de prueba. Gracias de antemano por su charla, y más gracias por sus respuestas. Y lo siento por los probables errores de mi inglés.

Preguntas más frecuentes: -Este es tu Tarea?

-No tengo nada,sólo un azar idea de que salió, mientras que hacerlo.

- ¿Estás hablando en variable compleja?

-Bueno, yo estaba haciendo mi tarea de complejos de cálculo, pero estoy seguro de que el razonamiento es prácticamente el mismo en real de cálculo.

Answer 1

$$\begin{align*} \frac{f(z_n)-f(w_n)}{z_n-w_n}&= \frac{f(z_n)-f(z_0)}{z_n-w_n}+\frac{f(w_n)-f(z_0)}{w_n-z_n}\\ &=\frac{f(z_n)-f(z_0)}{z_n-z_0}\frac{z_n-z_0}{z_n-w_n}+ \frac{f(w_n)-f(z_0)}{w_n-z_0}\frac{w_n-z_0}{w_n-z_n}\;\;\;\;\;\;\;\; (*) \end{align*}$$

Ahora $$\begin{align*} \frac{z_n-z_0}{z_n-w_n}&=1-\frac{w_n-z_0}{w_n-z_n}\;\;\;\;\;\;(**) \end{align*}$$ Ahora es claro que $$\exists\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{z_n-z_0}{z_n-w_n} \Longleftrightarrow \exists\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{w_n-z_0}{w_n-z_n}$$ Suponiendo que estos límites existe (de verificación), su valor será el mismo (comprobar también!). Llamarlo $\alpha\in\mathbb C$, y por (**) tendrás $\alpha=\frac{1}{2}$.

Por último, es claro que $$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{f(z_n)-f(z_0)}{z_n-z_0}= \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{f(w_n)-f(z_0)}{w_n-z_0}= f'(z_0)$$ y por (*) se puede concluir que su conjetura es correcta.