En la PM de Whitehead y Russell, ¿los rangos de significación superpuestos son necesariamente idénticos?

Question

En Principia Mathematica resumen de ✳63

En virtud de ✳20.8, tenemos $\vdash : \phi a ∨ \sim\phi a . ⊃ . \hat{x}(\phi x \vee \sim \phi x ) =t‘a$

es decir, si " $\phi a$ " es significativo, entonces el rango de significación de la función $\phi \hat{z} $ es el tipo de $a$ . De ello se deduce que dos rangos de significación que se solapan son idénticos, y dos rangos de significación diferentes no tienen ningún miembro en común.

Dado $T$ es la relación de compañero de equipo, entonces $\overset{→}{T}$ es la relación del equipo con los miembros del equipo. Por ejemplo:

Jordan es compañero de equipo de Pippen ≡. (Jordan $.T.$ Pippen),

Chicago Bulls es el equipo de Jordan ≡. (Chicago Bulls) $\overset{→}{T} $ (Jordania)

Chicago Bulls es el equipo de Pippen ≡. (Chicago Bulls) $\overset{→}{T}$ ( Pippen)

$\overset{→}{T} = \hat{\alpha}\hat{y} \{ \alpha = \hat{x}(xTy) \}$

Así, el campo de $\overset{→}{T}$ es una clase cuyos miembros incluyen dos tipos: $C‘\overset{→}{T}$ ={ Chicago Bulls ...Jordan, Pippen, ..., Lakers Bryant, O'Neal... }

1. dejar $\phi(x) = x$ es un jugador de baloncesto;
2. dejar $ \psi(\alpha)=\alpha$ es un equipo;
3. dejar $\chi(t) = t $ es miembro de $C‘\overset{→}{T}$

En el caso del número 1, $\phi(Jordan)$ es cierto porque Jordan es un jugador de baloncesto; $\phi(Chicago Bulls)$ no tiene sentido;

En el caso del #2. $\psi(Chicago Bulls)$ es cierto, pero $\psi(Jordan)$ sin sentido.

En el caso del #3. Tanto Jordan como los Chicago Bulls son miembros de $C‘\overset{→}{T}$ Así pues, ambos $\chi(Jordan)$ y $\chi(ChicagoBulls)$ son verdaderos y significativos.

Ambos $\phi{\hat{x}}$ y $\psi \hat{\alpha}$ se solapa con el tipo $\chi(\hat{t})$ pero ninguno es idéntico a otro. Por tanto, parece que dos rangos de significación que se solapan no son necesariamente idénticos. Entonces, ¿qué hay de malo en mi razonamiento?

No puedo insistir lo suficiente en esto: En este momento no tengo ningún deseo de encontrar fallos en PM. Todo lo que quiero es entender PM lo mejor posible .

Answer 1

La declaración de $*20.8$ está precedido [véase Alfred North Whitehead y Bertrand Russell, Principia Mathematica a 56 (2ª ed. - 1927), página 198] mediante un comentario que relaciona la proposición con la teoría de los tipos relativos .

En el mismo párrafo tenemos que :

El "tipo" de cualquier objeto $x$ se definirá en $*63$ como la clase de términos idénticos a $x$ o no idéntica a $x$ . Podemos definir el "tipo de los argumentos a $\phi x$ " como la clase de argumentos $x$ para lo cual " $\phi \hat{z}$ "es significativa, es decir, la clase $\hat{x}(\phi x \lor \sim \phi x$ ).

Simplificando mucho, debemos pensar en el "universo" como hecho de "niveles" (es decir tipos ) : el "más bajo" es el que contiene el individuos el siguiente es el nivel de clases de los individuos, etc.

El "rango de significación" de una fórmula $\phi x$ (con $x$ libre) debe sea un tipo.

Siguiendo su ejemplo, si $t_0$ es el tipo de jugadores de baloncesto, y si suponemos que un equipo es una clase de jugadores de baloncesto, el tipo de equipos será $t_1$ .

Por lo tanto, con respecto a su ejemplo :

dado $T$ es la relación del compañero de equipo, entonces $\overset{→}{T}$ es la relación del equipo con los miembros del equipo

Creo que tenemos alguna "restricción" sobre la definición posterior :

$\overset{→}{T} = \hat{\alpha}\hat{y} \{ \alpha = \hat{x}(xTy) \}$ ,

porque creo que no puede tienen

"la clase cuyos miembros incluyen dos tipos".

Según $*32.01$ El $T$ -Predecesores de $y$ : $\overset{→}{T}‘y = \hat{x}(xTy)$ es, en notación moderna : $\{x : xTy \}$ .

Si ponemos $\alpha = \overset{→}{T}‘y$ , este es un clase si asumimos que $y := Jordan$ , esta es la clase de compañeros de equipo de Jordan, es decir, el equipo de los Chicago Bulls.

Ser un clase Es decir, es no del mismo tipo de Jordania; por lo tanto, no podemos "predicar" de ella los mismos "predicados" que se aplican a Jordania.

La relación de "pertenencia" (en notación moderna $\in$ ) es no en PM una relación entre individuos (u objetos del mismo tipo).

Debe definirse según los "criterios" de importancia; es decir $x \in \hat{z} \phi z$ (que me temo que no está bien formado en el lenguaje PM) si $\phi x$ .

Todo el quid de la cuestión con la "horrible" teoría de los tipos del PM es que no se puede tener $\hat{z} \phi z$ al "mismo nivel" de $x$ : si $x$ es del tipo $t_i$ entonces cada clase al que $x$ debe ser del tipo al menos $t_{i+1}$ .

Creo que el error está en el "uso" que has hecho de $\overset{→}{T}$ en el relación $T$ , ambos argumentos ( $x$ y $y$ ) son jugadores :

$Jordan .T. Pippen$ .

Al utilizar $\overset{→}{T}$ tenemos :

$Chicago Bulls = \hat{x}(xT Jordan)$

es decir

$Chicago Bulls = \overset{→}{T}‘ Jordan$ ;

pero no podemos tener :

$Chicago Bulls .\overset{→}{T}. Jordan$ ,

porque los dos "relatos" no son del mismo tipo [véase Alfred North Whitehead y Bertrand Russell, Principia Mathematica a 56 (2ª ed. - 1927), página 248].