Primero, concéntrese en$k$ - by -$k$ matrices. Sabemos que el rango es una función continua para las matrices idempotentes, por lo que cuando tenemos, digamos,$\operatorname{rank}(A)>\operatorname{rank}(B)+1$, las dos matrices no pueden estar cerca en la topología de la norma.
Pero me pregunto si existe un límite inferior explícito de la distancia entre dos matrices idempotentes en términos de su diferencia en sus rangos.
¡Gracias!
El ejemplo de Martini es el primero que viene a la mente, y muestra que el rango no es continuo. Una posible crítica es que las normas son pequeñas, por lo que tal vez haya una versión "normalizada" que funcione. Pero no es el caso: considere $$ A = \begin{bmatrix}1&0\\ 0&0\end {bmatrix}, \ \ \ \ B = \begin{bmatrix}1&0\\ 0&\varepsilon\end {bmatrix} $$
Entonces y $\text{rank}(A)=1$.
El rango de una matriz idempotente es su rastro, y$|\text{Tr}(A-B)| \le k \|A-B\|$, por lo que si$\|A-B\| < 1/k$ deben tener el mismo rango.
EDITAR: en realidad, si$\|A - B\| < 1$ (donde$\|\cdot\|$ es una norma de operador) deben tener el mismo rango. Supongamos que$\text{rank}(A) < \text{rank}(B)$ y$B$ es idempotente. Deje$V = \text{Ran}(A)$ y$W = \text{Ran}(B)$. Luego, la restricción de$A$ a$W$ mapea$W$ en$V$. Como$W$ tiene una dimensión superior a$V$, este mapa no puede ser uno a uno, por lo que hay algunos% n. °$w \in W$distintos de cero de forma que$Aw = 0$. Pero$Bw = w$, entonces$(B-A)w = w$ y$\|B-A\| \ge 1$.
Aquí es una generalización de un caso especial, a saber, el caso de la auto-adjunto idempotents.
Supongamos que $p$ $q$ son auto-adjunto idempotents (proyecciones) en una C*-álgebra $A$. Si $\|p-q\|<1$, entonces no es un camino continuo de proyecciones en $A$$p$$q$. Si $A$ es unital, esto implica que $p$ $q$ son unitarily equivalente. En general, esto implica que no es una isometría parcial $v\in A$ tal que $v^*v=p$$vv^*=q$. Esto se muestra en el Capítulo 2 de Rørdam et al.'s Una introducción a la K-Teoría de las C*-álgebras de
En el caso de que $A=M_n(\mathbb C)$, esto nos indica que el $\|p-q\|<1$ implica que el $\mathrm{rank}(p)=\mathrm{Tr}(v^*v)=\mathrm{Tr}(vv^*)=\mathrm{rank}(q)$, un caso especial de Robert la respuesta israelí.
En una nota relacionada, no es muy difícil mostrar que si $p$ $q$ son arbitrarias proyecciones en una C*-álgebra, a continuación,$\|p-q\|\leq 1$. Más generalmente, si $a\geq 0 $ $b\geq 0$ en una C*-álgebra, a continuación,$\|a-b\|\leq \max\{\|a\|,\|b\|\}$. En particular, si $p$ $q$ son auto-adjunto idempotente matrices de diferentes rangos, a continuación,$\|p-q\|=1$.
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