Equivalencia de ordenada y desordenada cech cohomology.

Question

Dado un espacio topológico X y de un número finito de la cubierta de X = $\cup X_i$, se puede definir Cech cohomology de una gavilla de abelian grupos de F con respecto a la cubierta de la $\{X_i\}$ en dos formas diferentes:

1. (Ordenado): El k-ésimo término de la Cech el complejo es de $\bigoplus_{i_1 < \ldots < i_k} \Gamma(X_{i_1} \cap \ldots \cap X_{i_k}, F)$.
2. (Desordenada): El k-ésimo término de la Cech el complejo es de $\bigoplus_{i_1, \ldots , i_k} \Gamma(X_{i_1} \cap \ldots \cap X_{i_k}, F)$.

En particular, la segunda descripción implica la repetición y es distinto de cero en cada grado. Estas dos descripciones dar isomorfo cohomology (los primeros mapas intenta escribir probablemente será homotopy equivalencias).

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Pregunta: ¿hay un canónica de referencia para este hecho?

Answer 1

La escribí para mi la geometría algebraica supuesto, como una 2-página folleto, inspirado por EGA $0_{\rm{III}}$, 11.8.7 (lo cual no quiere decir que este es un canónica de referencia; sólo algunos escritos de referencia...).

Answer 2

Yo diría que un canónica de referencia es Roger Godement del Topologie algébrique et théorie des faisceaux, §3.8, capítulo I.

Answer 3

Un reciente referencia es Corolario 5.2.4 en Liu "la geometría Algebraica y aritmética de curvas".

Sin embargo, para la prueba de el paso principal (reducción de cochains a la alternancia de cochains, como en Brian Conrad valoración crítica) se refiere a la Serre "Faisceaux Algébriques Cohérents", no. 20 de la Proposición 2.

Answer 4

No sé si esto es en SGA IV.5, pero eso es un buen lugar para buscar preguntas acerca de Cech cohomology.

Como he descrito aquí, la Cech cohomology con respecto a una cubierta es la misma que la gavilla cohomology en el tamiz asociados a la portada. Si $\mathcal{U}$ es un cover de $X$, vamos a $R$ ser la categoría cuyos objetos son los mapas de $V \rightarrow X$ que factor a través de algún objeto en $\mathcal{U}$. Entonces

$\check{H}^p(\mathcal{U}, F) = \varprojlim^{(p)}_{R} F = Ext^p(\mathbf{Z}_R, F)$

donde $\varprojlim^{(p)}$ $p$- ésima derivada functor $\varprojlim$. Esta puede ser calculada tomando una resolución proyectiva de $\mathbf{Z}_R$. Aquí hay dos maneras de hacerlo:

$\displaystyle K_p = \sum_{i_1 < i_2 < \cdots < i_p} \mathbf{Z}_{U_{i_1} \cap \cdots \cap U_{i_p}}$

$\displaystyle L_p = \sum_{i_1, \ldots, i_p} \mathbf{Z}_{U_{i_1} \cap \cdots \cap U_{i_p}}$.`

Se debe verificar, por supuesto, que estos son de hecho las resoluciones. (No tengo una mancha de la explicación de por qué son las resoluciones. Lo mejor que puedo hacer es decir que estos complejos están asociados a través de la Dold--Kan correspondencia a simplicial resoluciones de la final de la presheaf en $R$.) Tomando $Hom$ a $F$ los rendimientos de los dos Cech complejos en cuestión.