La diferencia de dos estadísticos de orden de la distribución exponencial

Question

Si tenemos una muestra aleatoria $X_1,X_2, \ldots, X_n \stackrel{\text{iid}}\sim f(x\mid\theta)=e^{-(x-\theta)}I(x >\theta)$ . Queremos demostrar $$2\sum X_i-2n X_{(1)} \sim \chi^2_{n-2}$$ donde $X_{(1)}$ es la estadística de orden más pequeño.

Lo intenté: $$2\sum X_i-2n X_{(1)} =2\left[\sum X_i-n X_{(1)}\right]=2\left[\sum X_{(i)}-n X_{(1)}\right]=2\left[\sum \left(X_{(i)}- X_{(1)}\right)\right]$$ Y estaba tratando de encontrar la distribución de $$X_{(i)}- X_{(1)}$$

Y busqué que $$X_{(i)}-X_{(i-1)} \sim \operatorname{Exp}\left(\frac{1}{n+1-i}\right) \text{ if } X_i \stackrel{\text{iid}}\sim \operatorname{Exp}(1)$$ ¿Alguna idea? Gracias.

Answer 1

Comentario: @spaceisdarkgreen, he simulado el caso $n = 10,\, \theta = 0$ para ver si esto parece funcionar del todo y para confirmar su corrección de los grados de libertad. La curva roja es para $\mathsf{Chisq}(n-2)$ y el verde para $\mathsf{Chisq}(2n-2).$ Por supuesto, esto no probar nada, pero (para mí de todos modos) ofrece la esperanza de que su argumento se haga riguroso.

Código R por si sirve de algo:

m = 10^5;  n = 10
x = rexp(m*n);  MAT = matrix(x, nrow=m)
t = rowSums(MAT);  v = apply(MAT, 1, min)
y = 2*t - 2*n*v
hist(y, prob=T, br= 25, col="skyblue2", ylim=c(0,.12))
 curve(dchisq(x, n-2), 0, 50, lwd=2, col="red", add=T)
 curve(dchisq(x, 2*n-2), lwd=2, col="darkgreen", add=T)