Informática

Question

Me gustaría evaluar

$$ \sum{n=0}^{\infty} u{n}$$

donde $u_{n}$ se define por la siguiente relación de recurrencia:

$$ \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+a}{n+b}$$

$$ a,b>0$ $ $$ \frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{b-a}{n}+o(1/n) $ $

es de una condición suficiente para la convergencia de $\sum u_n$ $b>a+1$

$$ u_{n}=\frac{(n-1+a)...(1+a)a}{(n-1+b)...(1+b)b}u_0=\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b)}{\Gamma(b+n)\Gamma(a)}u_0$$

Así $$ \sum{n=0}^{\infty} u{n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b)}{\Gamma(b+n)\Gamma(a)}u_0$ $

¿Y...?

Answer 1

Sugerencias: Asumir primero que $b\gt a+1$ y que $c=u_0\dfrac{b-1}{b-a-1}$.

• Mostrar que $u_n=\displaystyle c\,(1-vn)\prod{k=0}^{n-1}v_k$ cada $n\geqslant0$, donde $v_k=\dfrac{k+a}{k+b-1}$.
• Deducir que $\displaystyle\sum_{n=0}^Nun=c\,\left(1-\prod{k=0}^{N}v_k\right)$ cada $N\geqslant0$.
• Deducir que $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n=c$.

Ampliar este resultado al hecho de que el $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ es infinita si $b\leqslant a+1$.

Answer 2

Puede encontrar la misma pregunta en el libro T.J.I'A. Bromwich, "Una introducción a la teoría de series infinitas" (1947), segunda edición, p.48. Prueba de ello es lo diferente de uno. Se pueden ver también los problemas de la Amer.Math.Monthly Nº 11260, 11409, 11473