Por qué el movimiento browniano es un proceso estacionario

Question

Descubrí que simplemente no puedo demostrar rigurosamente que el proceso de Wiener es un proceso estacionario, es decir, que sus distribuciones de dimensión finita no cambian bajo un desplazamiento en el tiempo. Dejemos que $W_t$ sea un proceso de Wiener:

1. $W_0=0$ a.s.

2. para $0\le t_0\le \ldots \le t_n$ variables aleatorias $W_{t_n}-W_{t_{n-1}}, \ldots, W_{t_2}-W_{t_{1}}, W_{t_1}-W_{t_{0}}$ son independientes,

3. $W_{t}-W_{s}\sim N(0, t-s)$ .

Entonces, ¿por qué $W_t$ es un proceso estacionario, es decir, para cualquier conjunto medible $A\in \mathbb{R}^n$ $$ \mathbb{P}((W_{t_1},\ldots, W_{t_n})\in A)=\mathbb{P}((W_{t_1+h},\ldots, W_{t_n+h})\in A)? $$

Por ejemplo, si tomo $n=1$ Entonces, por supuesto $\mathbb{P}(W_{t}\in A)\neq \mathbb{P}(W_{t+h}\in A)$ porque $W_{t}$ y $W_{t+h}$ no tienen la misma distribución.

Lo siento por una pregunta probablemente sencilla, pero parece que me he quedado atascado.

Answer 1

Movimiento browniano no es un proceso estacionario en este sentido.

Lo que sí es cierto es que tiene estacionamiento incrementos que para cualquier $s,t$ y cualquier $h$ , $W_t - W_s$ tiene la misma distribución que $W_{t+h}-W_{s+h}$ . Esto es esencialmente lo que expresa su propiedad 3. A esto se suele referir la gente cuando habla de que el movimiento browniano es "estacionario".