¿Qué es límite de $ \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sqrt[2^n]{a}-1}$ dado $a>1$?

Question

¿Cuál es el límite de $\displaystyle{ \lim \limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\sqrt[2^n]{a}-1}}$ dado $a>1$?

Hice algunos cálculos y siento su $\frac{1}{2}$, no sé cómo probarlo

Hice uso desigualdad de Bernoulli

Answer 1

Nota that$$\lim{n\to\infty}n\left(\sqrt[n]a-1\right)=\log a\tag{1}.$$This equality comes from $$\lim{n\to\infty}n\left(\sqrt[n]a-1\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{a^\frac1n-1}{\frac1n},$$which is the derivative at $0$ of the function $t\mapsto a^t$. Since $a^t=\exp\bigl (t\log (a) \bigr) $, this derivative is $\log un$.

De $(1)$, se puede deducir que $$\lim{n\to\infty}2^n\left(\sqrt[2^n]a-1\right)=\log a\in(0,+\infty).$$But then$$\lim{n\to\infty}\sqrt[n]{2^n\left(\sqrt[2^n]a-1\right)}=1,$$which means that$% $ $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt[2^n]a-1}=\frac12.$

Answer 2

Vamos a hacerlo sin logaritmos, usando solamente algunos álgebra, límite $\sqrt[n]x\to1$ para cualquier $x\gt0$ y el teorema del apretón.

Si $A\gt1$ y $N\in\mathbb{N}$, es fácil ver que

$$(A^N-1)=(A-1)(A^{N-1}+\cdots+1)\le(A-1)(A^N+\cdots+A^N)=NA^N(A-1)$$

y

$$A^N-1=(1+(A-1))^N-1=1+N(A-1)+\cdots+(A-1)^N-1\ge N(A-1)$$

por lo tanto

$${A^N-1\over NA^N}\le A-1\le{(A^N-1)\over N}$$

Ahora que $N=2^n$ y $A=a^{1/N}=a^{1/2^n}$ $a\gt1$. Entonces

$${a-1\over2^na}\le a^{1/2^n}-1\le{a-1\over2^n}$$

y así

$${1\over2}\sqrt[n]{a-1\over a}\le\sqrt[n]{a^{1/2^n}-1}\le{1\over2}\sqrt[n]{a-1}$$

Desde $a-1$ y $(a-1)/a$ son positivos, los límites superiores e inferiores tienden a $1/2$ $n\to\infty$, por lo que nos dice el teorema del apretón

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^{1/2^n}-1}={1\over2}$$

Answer 3

El límite en cuestión se reduce al límite $$ \lim{t \to 0 +} (a^t-1)^{1/\ln(t)} = e $ que vale la pena recordar.