Deje $\mu$ $\mu'$ ser dos diferentes Euclidiana métricas en el mismo vector paquete de $\xi$. ¿Cómo puedo ver que existe una homeomorphism $f: E(\xi) \to E(\xi)$ que lleva cada fibra isomorphically sobre sí mismo, de modo que la composición de la $\mu \circ f: E(\xi) \to \mathbb{R}$ es igual a $\mu'$?
Pensamientos tan lejos. Cada matriz positiva definida $A$ se puede expresar de manera única como el cuadrado de una matriz positiva definida $\sqrt{A}$. El poder de expansión de la serie$$\sqrt{tI + X} = \sqrt{t}\left( I + {1\over{2t}} - {1\over{8t^2}}X^2 + \dots\right),$$is valid provided that the characteristic roots of $tI + X = a$ lie between $0$ and $2t$. This shows that the function $\mapsto \sqrt{A}$ es suave. Pero no estoy seguro de cómo completar. Alguien puede ayudar?
La notación. Deje $B$ denotar un fijo topológica del espacio, que se llama la base del espacio. Un verdadero vector paquete de $\xi$ $B$ se compone de los siguientes:
- un espacio topológico $E = E(\xi)$ llama el espacio total,
- a (continua) mapa de $\pi: E \to B$ llamado el mapa de proyección, y
- para cada una de las $b \in B$ la estructura de un espacio vectorial sobre los números reales en el conjunto de $\pi^{-1}(b)$.
Un Euclidiana del vector paquete es un verdadero vector paquete de $\xi$ junto con una función continua$$\mu: E(\xi) \to \mathbb{R}$$such that the restriction of $\mu$ to each fiber of $\xi$ is positive definite and quadratic. The function $\mu$ itself will be called a Euclidean metric on the vector bundle $\xi$.
