Comprender la construcción de nbds abiertos en complejos CW

Question

No entiendo la construcción de abrir nbds $N_\epsilon(A)$ $A$ en un CW-complejo de $X$ dado en la página 522 de Hatcher del Libro. Ya que el libro está disponible de forma gratuita en línea, voy a copiar el párrafo completo:

Siguiente se describe una manera conveniente de la construcción de abrir barrios $N_\epsilon(A)$ de los subconjuntos $A$ de un CW complejo de $X$ donde $\epsilon$ es una función de la asignación de un número $\epsilon_\alpha>0$ a cada celda $e^n_\alpha$. La construcción es inductivo sobre el skeleta $X^n$, por lo que supongamos que ya hemos construido $N^n_\epsilon(A)$, un barrio de $A\cap X^n$$X^n$, iniciar el proceso con $N_\epsilon^0(A)=A\cap X^0$. A continuación, definimos $N_\epsilon^{n+1}$ por la especificación de su preimagen bajo el mapa de características $\phi_\alpha:D^{n+1}\to X$ de cada celda $e^{n+1}_\alpha$, es decir, $\phi_\alpha^{-1}(N_\epsilon^{n+1}(A))$ es la unión de dos partes: una abra $\epsilon_\alpha$-barrio de $\phi^{-1}(A)-\partial D^{n+1}$ en $D^{n+1}-\partial D^{n+1}$, y un producto $(1-\epsilon_\alpha,1]\times \phi_\alpha^{-1}(N_\epsilon^n(A))$ con respecto a 'esférico' coordenadas $(r,\theta)$ donde $r\in [0,1]$ es la radial coordinar y $\theta$ se encuentra en $\partial D^{n+1}=S^n$. Luego nos definir $N_\epsilon(A)=\bigcup_nN^n_\epsilon(A)$. Este es un conjunto abierto en $X$ desde que se retira a un conjunto abierto debajo de cada característica mapa.

No entiendo la frase en negrita. En primer lugar vamos precisa algunos notación: Tenemos mapas $\phi^n_\alpha:D^n\to X$ donde $n$ rangos de cualquiera de las $\mathbb{N}$ o $\{1,2,...,m\}$. Las células de $X$ $e^n_\alpha=\phi^n_\alpha(D^n-\partial D^n)$ y los esqueletos se $X^n=\bigcup_{m\le n}\bigcup_{\alpha\in A_m}e^m_\alpha$ (Hatcher no utilizar el superíndice $^n$ pero que en realidad deberían estar ahí, de la $A_m$'s no hay, pero me estoy poniendo énfasis). Esto también va para $\epsilon$, por lo que deberíamos tener $\epsilon^n_\alpha$ lugar.

Cómo es $N_\epsilon^{n+1}(A)$ define si uno sabe que es preimagen bajo cada una de las $\phi^{n+1}_\alpha$. También, ¿qué queremos decir por la apertura de un $\epsilon_\alpha$-barrio de $\phi^{-1}(A)-\partial D^{n+1}$ $D^{n+1}-\partial D^{n+1}$ y ¿qué es esa cosa de coordenadas esféricas? No debería ser $(\phi_\alpha|D^n)^{-1}(N_\epsilon^n(A))$ lugar? Hay una pregunta similar, aquí la Pregunta acerca de Hatcher libro CW complejo , pero no creo que la pregunta es buena o incluso si la respuesta es correcta.

Answer 1

$\require{AMScd}$

Creo que lo he descubierto. Definimos $B(Y,\epsilon)=\bigcup_{y\in Y}B(y,\epsilon)$ el abierto de $\epsilon$-nbd de $Y$ y el homeomorphism $r:(0,1]\times \partial D^n\to D^n-0,r(t,s)=ts$ (este es sólo el producto escalar y es lo que Hatcher medio por coordenadas esféricas). Vamos a definir de forma inductiva $N_\epsilon^0(A)=A\cap X^0$ $n\ge 1$ supongamos $N^{n-1}_\epsilon(A)$ es un nbd de $A\cap X^{n-1}$$X^{n-1}$. Vamos a escribir $\phi^n_\alpha$ $\phi_\alpha$ y de manera similar para$\epsilon_\alpha$$e_\alpha$. Definimos: $$\begin{align*} B_\alpha&=B((\phi_\alpha|D^n-\partial D^n)^{-1}(A),\epsilon_\alpha) \\ C_\alpha&=r((1-\epsilon_\alpha,1]\times\phi_\alpha^{-1}(N^{n-1}_\epsilon(A))) \\ A_\alpha&=B_\alpha\cup C_\alpha \\ N^n_\epsilon(A)&=\bigcup_\alpha\phi_\alpha(A_\alpha)\cup N^{n-1}_\epsilon(A) \end{align*}$$ Tenga en cuenta que en la definición de $B_\alpha$ la métrica $d$ se supone debe ser restringido a $D^n-\partial D^n$ $B_\alpha$ es un conjunto abierto en $D^n-\partial D^n$ $C_\alpha$ porque $r$ es un homeomorphism, $(1-\epsilon^n_\alpha,1]\times\phi_\alpha^{-1}(N^{n-1}_\epsilon(A))$ está abierto en $(0,1]\times \partial D^n$ $D^n-0$ está abierto en $D^n$ (tenga en cuenta que aquí asumimos $\epsilon_\alpha<1$ porque de lo contrario no podemos obtener un conjunto abierto, este es asumido por Hatcher en la página siguiente y también estamos interesados en pequeño $\epsilon_\alpha$, también utilizamos el hecho de que $N^{n-1}_\epsilon(A)\subseteq X^{n-1}$, de modo que $\phi_\alpha^{-1}(N^{n-1}_\epsilon(A))=(\phi_\alpha|\partial D^n)^{-1}(N^{n-1}_\epsilon(A))$ y lo puse en la pregunta fue redudant). Así, obtenemos $A_\alpha$ abierta en $D^n$.

Entonces, uno puede demostrar que $\phi_\beta^{-1}(\phi_\alpha(A_\alpha))\subseteq C_\beta$ si $\beta\neq \alpha$$\phi_\alpha^{-1}(\phi_\alpha(A_\alpha))=A_\alpha$, de modo que uno se $\phi_\beta^{-1}(N^n_\epsilon(A))=A_\beta$, un conjunto abierto en $D^n$ (esto es lo que Hatcher significa que definir su preimagen en virtud de la característica de mapa de $\phi_\alpha$). Entonces uno se demuestra a $N^n_\epsilon(A)\cap X^{n-1}=N^{n-1}_\epsilon(A)$ y, finalmente, $N^n_\epsilon(A)$ es, de hecho, abierto en $X^n$ debido a que el cociente mapa definido en la prueba de la Proposición A. 2 p.521. Añadimos $N^{n-1}_\epsilon(A)$$N^n_\epsilon(A)$, de modo que $N^n_\epsilon(A)\cap X^{n-1}$ es, de hecho, abierto en $X^{n-1}$, otra razón es dada en la siguiente frase. Queda por demostrar que $N^n_\epsilon(A)$ contiene $A\cap X^n$. Desde $N^{n-1}_\epsilon(A)$ contiene $A\cap X^{n-1}$ tenemos que mostrar que $N^n_\epsilon(A)$ contiene $A\cap(X^n-X^{n-1})=\bigcup_\alpha A\cap e_\alpha$, esto es obvio ya que $(\phi_\alpha|D^n-\partial D^n)^{-1}(A)\subseteq B_\alpha$ implica $A\cap e_\alpha\subseteq \phi_\alpha(B_\alpha)$.

Podemos definir finalmente, $N_\epsilon(A)=\bigcup_nN^n_\epsilon(A)$ y una prueba $N_\epsilon(A)\cap X^n=N^n_\epsilon(A)$, un conjunto abierto en $X^n$ $N_\epsilon(A)$ está abierto en $X$, y es claro que $A\subseteq N_\epsilon(A)$ debido a que cada una de las $A\cap X^n\subseteq N^n_\epsilon(A)$

Ahora como una aplicación de todo esto voy a precisa la Proposición A. 4 p.522:

Cada punto en un CW complejo dispone arbitrariamente pequeño contráctiles abrir barrios, por lo que CW complejos son localmente contráctiles.

Vamos a llamar a $y$ en lugar de $x$ como en el libro el punto que estamos estudiando y deje $U$ una nbd de $y$. Queremos encontrar el derecho $\epsilon^n_\alpha$'s de modo que $N_\epsilon(y)\subseteq U$. Supongamos $m$ es el menor entero no negativo tal que $y\in X^m$. Luego tenemos la $N^n_\epsilon(y)=\emptyset$ $n<m$ y tenga en cuenta que $N^m_\epsilon(y)=\phi^m_\alpha(B(z,\epsilon^m_\alpha))$ donde $\alpha$ es el índice tal que $y\in e^m_\alpha$ $z\in D^m-\partial D^m$ es tal que $\phi^m_\alpha(z)=y$. Pick $\epsilon^m_\alpha$, de modo que $\overline{B(z,\epsilon^m_\alpha)}\subseteq(\phi^m_\alpha|D^m-\partial D^m)^{-1}(U)$. Entonces a partir de la $\phi^m_\alpha|D^m-\partial D^m$ es un homeomorphism uno se $\overline{N^m_\epsilon(y)}=\overline{(\phi^m_\alpha|D^m-\partial D^m)(B(z,\epsilon^m_\alpha))}=(\phi^m_\alpha|D^m-\partial D^m)(\overline{B(z,\epsilon^m_\alpha)})\subseteq U$, como se desee. Supongamos que hemos definido inductivamente la $\epsilon$'s de modo que $\overline{N^{n-1}_\epsilon(y)}\subseteq U$. Vamos a colocar los superíndices $^n$ como en el libro. Utilizando la misma notación, como antes, pero con $A=\{y\}$, tenga en cuenta que$B_\alpha=\emptyset$$A_\alpha=C_\alpha=r((1-\epsilon_\alpha,1]\times\phi_\alpha^{-1}(N^{n-1}_\epsilon(y)))\subseteq r((1-\epsilon_\alpha,1]\times\phi_\alpha^{-1}(\overline{N^{n-1}_\epsilon(y)}))$. Sabemos $X$ es normal a partir de la proposición anterior en el libro de modo que podemos elegir $V$ nbd $\overline{N^{n-1}_\epsilon(y)}$ $X$ tal que $\overline{N^{n-1}_\epsilon(y)}\subseteq V\subseteq \overline{V}\subseteq U$. Desde $\phi_\alpha^{-1}(\overline{N^{n-1}_\epsilon(y)})$ es un subconjunto cerrado de $\partial D^n$ y por lo tanto también es un subconjunto cerrado de $D^n$ que está contenida en el abierto subconjunto $\phi_\alpha^{-1}(V)$ $D^n$ podemos usar el lema 1. para obtener $\epsilon_\alpha$, de modo que $r((1-\epsilon_\alpha,1]\times\phi_\alpha^{-1}(\overline{N^{n-1}_\epsilon(y)}))\subseteq \phi_\alpha^{-1}(V)$. A continuación, obtener $\phi(C_\alpha)\subseteq V$ por cada $\alpha$, de modo que $N^n_\epsilon(y)\subseteq V\cup N^{n-1}_\epsilon(y)$ y, a continuación,$\overline{N^n_\epsilon(y)}\subseteq \overline{V}\cup U\subseteq U$, como se desee.

Queda por demostrar que $N^m(y)$ es contráctiles. Esta es la parte difícil de esta prueba. Para $n>m$, Hatcher reclamaciones se puede construir una deformación de retracción de $N^n_\epsilon(y)$ a $N^{n-1}_\epsilon(y)$ deslizando hacia afuera a lo largo radial segmentos en las células de la $e^n_\alpha$, las imágenes bajo la característica de los mapas de $\phi_\alpha$ radial de los segmentos en $D^n$. Esta última afirmación es bastante intuitivo y fácil de entender, pero un poco incómodo para escribir y probar formalmente, pero voy a hacerlo de todos modos. Llame a $V=N^{n-1}_\epsilon(y)$. Para cada una de las $\alpha$ deje $R_\alpha:((1-\epsilon_\alpha,1]\times \phi_\alpha^{-1}(V))\times I\to ((1-\epsilon_\alpha,1]\times \phi_\alpha^{-1}(V))$ ser la deformación de retracción de $(1-\epsilon_\alpha,1]\times \phi_\alpha^{-1}(V)$ a $1\times \phi_\alpha^{-1}(V)$ define como $R_\alpha((s,a),t)=((1-t)s+t,a)$ (intuitivamente este mapa de diapositivas de los elementos de $(1-\epsilon_\alpha,1]\times \phi_\alpha^{-1}(V)$ en una forma rectangular y a velocidad constante a $1\times \phi_\alpha^{-1}(V)$). Luego de señalar que $\phi_\alpha(\phi_\alpha^{-1}(V))=N^{n-1}_\epsilon(y)\cap \phi_\alpha(\partial D^n)$ I definir $F_\alpha:\phi_\alpha(C_\alpha)\times I\to \phi_\alpha(C_\alpha)$ \begin{equation*} F_\alpha(x,t)= \begin{cases} \phi_\alpha(r(R_\alpha(r^{-1}((\phi_\alpha|D^n-\partial D^n)^{-1}(x)),t)))& x\in \phi_\alpha(C_\alpha-\phi_\alpha^{-1}(V)) \\ x & x\in N^{n-1}_\epsilon(y)\cap \phi_\alpha(\partial D^n) \end{casos} \end{ecuación*} Esto es parte de la final de la deformación de retracción $F$ $N^n_\epsilon(y)$ a $N^{n-1}_\epsilon(y)$. Primero debemos probar cada una de las $F_\alpha$ es continua. Tenga en cuenta que $\phi_\alpha(C_\alpha-\phi_\alpha^{-1}(V))$ es un subconjunto abierto de $\phi_\alpha(C_\alpha)$ (en realidad un subconjunto abierto de $N^n_\epsilon(y)$) y, a continuación, está claro a partir de la definición que $F_\alpha$ es continua en a $\phi_\alpha(C_\alpha-\phi_\alpha^{-1}(V))\times I$, queda por demostrar que es continua en a $N^{n-1}_\epsilon(y)\cap \phi_\alpha(\partial D^n)\times I$, este es el engorroso parte. Deje $z\in N^{n-1}_\epsilon(z)\cap \phi_\alpha(\partial D^n)$$s\in I$, vamos a probar a $F_\alpha$ es continua en a $(z,s)$. Deje $U$ libre nbd de $F_\alpha(z,s)=z$$\phi_\alpha(C_\alpha)$, $U\cap N^{n-1}_\epsilon(z)\cap \phi_\alpha(\partial D^n)$ está abierto en $\phi_\alpha(C_\alpha)\cap N^{n-1}_\epsilon(z)\cap \phi_\alpha(\partial D^n)=N^{n-1}_\epsilon(z)\cap \phi_\alpha(\partial D^n)$, lo que a su vez está abierto en $\phi_\alpha(\partial D^n)$ porque $N^{n-1}_\epsilon(z)$ está abierto en $X^{n-1}$ $U\cap N^{n-1}_\epsilon(z)\cap \phi_\alpha(\partial D^n)$ está abierto en $\phi_\alpha(\partial D^n)$. Desde $\phi_\alpha(\partial D^n)$ es normal (esto es debido a que la normalidad es invariante bajo continuo cerrado surjections) no es $W$ nbd $z$ $\phi_\alpha(\partial D^n)$ tal que $z\in W\subseteq \overline{W}\subseteq U\cap N^{n-1}_\epsilon(z)\cap \phi_\alpha(\partial D^n)$. Definir $K=\phi_\alpha^{-1}(\overline{W})$$R=\phi_\alpha^{-1}(W)$, $K$ es cerrado en $\partial D^n$ y cerró en $D^n$, $\phi_\alpha^{-1}(U)$ está abierto en $D^n$$K\subseteq \phi_\alpha^{-1}(U)$, por lo que podemos usar el lema 1. para obtener un $\delta$ tal que $r((1-\delta,1]\times K)\subseteq \phi_\alpha^{-1}(U)$ y desde $R\subseteq K$ obtenemos $r((1-\delta,1]\times R)\subseteq \phi_\alpha^{-1}(U)$, la nota también se $R$ está abierto en $D^n$. Tenemos que demostrar a $\phi_\alpha(r((1-\delta,1]\times R))\times I$ es el deseado nbd de $(z,t)$. Primera nota de que $\phi_\alpha$ es un cociente mapa y $r((1-\delta,1]\times R)$ es una $\phi_\alpha$saturada subconjunto de $D^n$ (aquí utilizamos el hecho de que $R$ está abierto y que es de la forma $\phi_\alpha^{-1}(W)$), esto significa $\phi_\alpha(r((1-\delta,1]\times R))$ está abierto en $\phi_\alpha(D^n)$, lo que implica que también abierta en $\phi_\alpha(C_\alpha)$ y también satisface $\phi_\alpha(r((1-\delta,1]\times R))\subseteq U$. Por lo que sigue siendo para mostrar que $F_\alpha(\phi_\alpha(r((1-\delta,1]\times R))\times I)\subseteq U$, esto se deduce del hecho de que $R_\alpha(((1-\delta,1)\times J)\times I)\subseteq (1-\delta]\times J$ cualquier $J\subseteq \partial D^n$: $$\begin{align*} F_\alpha(\phi_\alpha(r((1-\delta,1]\times R))\times I)&=F_\alpha(\phi_\alpha(r((1-\delta,1)\times R))\times I)\cup F_\alpha(\phi_\alpha(R)\times I) \\ &=\phi_\alpha(r(R_\alpha(((1-\delta,1)\times R)\times I)))\cup \phi_\alpha(R) \\ &\subseteq \phi_\alpha(r((1-\delta,1]\times R))\cup \phi_\alpha(R) \\ &=\phi_\alpha(r((1-\delta,1]\times R)) \\ &\subseteq U \end{align*}$$ Así, tenemos que $F_\alpha$ es de hecho continua en $(z,t)$ $F_\alpha$ es una deformación de retracción de $\phi_\alpha(C_\alpha)$ a $N^{n-1}_\epsilon(y)\cap \phi_\alpha(\partial D^n)$

Vamos a definir el final de la deformación de retracción $F:N^n_\epsilon(y)\times I\to N^n_\epsilon(y)$ \begin{equation*} F(x,t)= \begin{cases} F_\alpha(x,t) & x\in \phi_\alpha(C_\alpha)\text{ for some %#%#%} \\ x & x\in N^{n-1}_\epsilon(y) \end{casos} \end{ecuación*} Tenga en cuenta que $\alpha$ está bien definido. Recordemos que un espacio de $F$ es generado por $Y$ fib $Y_\alpha$ $Y=\bigcup Y_\alpha$ es abierto (cerrado) en $U\subseteq Y$ fib para cada $Y$, $\alpha$ es abierto (cerrado) en $U\cap Y_\alpha$. En la Proposición A. 15 está demostrado que $Y_\alpha$ es continua iff cada una de las $F:Y\times I\to Z$ es continua (el teorema es acerca de los subespacios compactos, pero claramente se aplica en el caso general). Más adelante en el apéndice también se demostrado que una célula compleja $F|Y_\alpha\times I:Y_\alpha\times I\to Z$ es generado por los cierres de sus células $X$. Desde $e^n_\alpha$ está abierto en $N^n_\epsilon(y)$, un subcomplejo de $X^n$ y por lo tanto una célula compleja de por sí, uno consigue fácilmente que $X$ es generado por $N^n_\epsilon(y)$$N^n_\epsilon(y)\cap \overline{e^n_\alpha}=\phi_\alpha(C_\alpha)$. Desde cada una de las $N^{n-1}_\epsilon(y)$ es continua y la restricción de $F|\phi_\alpha(C_\alpha)\times=F_\alpha$ $F$es la identidad que conseguir ese $N^{n-1}_\epsilon(y)\times I$ es continua.

Ahora tenemos la deformación de retracción de $F$ a $N^n_\epsilon(y)$ $N^{n-1}_\epsilon(y)$ y se desea construir una retracción de$n>m$$N_\epsilon(y)$. Hatcher da algunas pistas sobre esta diciendo que uno tiene que realizar la deformación de retracción de $N^m_\epsilon(y)$ a $N^n_\epsilon(y)$ $N^{n-1}_\epsilon(y)$- intervalo de $t$, puntos de $[1/2^n,1/2^{n-1}]$ ser estacionario fuera de esta $N^n_\epsilon(y)-N^{n-1}_\epsilon(y)$-intervalo. Mientras que esto es claro en el caso finito no es muy claro cómo se obtiene el final de la deformación de retracción de $t$ a $N_\epsilon(y)$ al $N^m_\epsilon(y)$ es un infinito de la unión, los detalles acerca de esto en el lema 2. Para aplicar este lema, uno simplemente debe tener en cuenta que $N_\epsilon(y)$ abierta en $N_\epsilon(y)$ implica que el $X$ es generado por $N_\epsilon(y)$$N^n_\epsilon(y)$. Por lo tanto, obtener la deformación de retracción de $n\ge m$ a $N_\epsilon(y)$. La deformación de retracción de $N^m_\epsilon(y)$ $N^m_\epsilon(y)$es evidente desde $y$ y el balón $N^m_\epsilon(y)=\phi^m_\alpha(B(z,\epsilon^m_\alpha))$ retrae a $B(z,\epsilon^m_\alpha)$ en la forma obvia. Hemos terminado.

Lema 1. Si $z$ es un compacto de espacio métrico con la métrica $X$ y $d$, $A$ son cerrados disjuntos subconjuntos de a$B$$X$. Esto implica que la configuración de $d(A,B)=\inf_{a\in A}d(a,B)>0$, $\epsilon=d(A,B)/2$ y $B(A,\epsilon)$ discontinuo y, en particular, si $B(B,\epsilon)$ es cerrado en $A$, $X$ está abierto en $U$ $X$ hay $A\subseteq X$ tal que $\epsilon>0$. En el problema utilizamos el hecho de que si $B(A,\epsilon)\subseteq U$$J\subseteq\partial D^n$.

Prueba. Suponga $r((1-\delta,1]\times J)\subseteq B(J,\delta)$, entonces existe una secuencia $d(A,B)=0$ $a_n$ tal que $A$. Desde $0=\lim_{n\to \infty}d(a_n,B)$ es compacto, podemos elegir un subsequence $X$ convergentes a $a_{n_k}$ porque $a\in A$ es cerrado y desde $A$ es continua obtenemos $x\mapsto d(x,B)$, lo que significa $0=\lim_{k\to \infty}d(a_{n_k},B)=d(a,B)$ porque $a\in B$ es cerrado, una contradicción. Por lo tanto $B$

Lema 2. Si $d(A,B)>0$ es un espacio generado por $X$ $X_n$ y cada una de las $n\ge 0$ deformación se retrae a $X^n$ $X^{n-1}$ $n\ge 1$ deformación se retrae a $X$.

Prueba. Si $X_0$ $X\subseteq Y\subseteq Z$ es una deformación de retracción de $F:Z\times [a,b]\to Z$ a $Z$ $Y$ es una deformación de retracción de $G:Y\times [b,c]\to Y$ a $Y$, a continuación, definir la deformación de retracción $X$ $F\cdot G:Z\times [a,c]\to Z$ a $Z$ \begin{equation*} F\cdot G(z,t)= \begin{cases} F(z,t)&t\in [a,b] \\ G(F(z,b),t)& t\in [b,c] \end{casos} \end{ecuación*} Es fácil comprobar que $X$ es de hecho una deformación de retracción y que $F\cdot G$ $F\cdot G|Z\times [a,b]=F$ $F\cdot G|Y\times [b,c]= G$ extiende $F\cdot G$$F$. Ahora supongamos $G$ es una deformación de retracción de $F_n:X_n\to [1/2^n,1/2^{n-1}]\to X_n$ a $X_n$ por cada $X_{n-1}$ y define inductivamente $n\ge 1$ y para $D_1=F_1$, $n\ge 2$ una deformación de retracción de $D_n=F_n\cdot D_{n-1}:X_n\times [1/2^n,1]\to X_n$ a $X_n$. Ahora defina $X_0$ \begin{equation*} R_n(x,t)= \begin{cases} x & t\in[0, 1/2^n] \\ D_n(x,t) & t\in [1/2^n,1] \end{casos} \end{ecuación*} Es claro que $R_n=X_n\times I\to X_n$ está bien definido y que cada una de las $R_n$ extends $R_{n+1}$, de modo que podemos definir de la $R_n$ $R:X\times I\to X$ cualquier $R(x,t)=R_n(x,t)$ tal que $n$. $x\in X_n$ es continuo ya que cada una de las $R$ es continua y el resto de las propiedades de deformación de retracción son fáciles de comprobar lo $R|X_n\times I=R_n$ es nuestra deseada de la deformación de retracción de $R$ a $X$.

EDIT: he encontrado una manera mucho más sencilla de definir $X_0$ y también para demostrar que es continua. Se basa en la proposición A. 17 que aparece más tarde y le dice que si $F_\alpha$ es un cociente mapa lo es $q:X\to Y$ es también un cociente mapa. Vamos $q\times 1:X\times I\to Y\times I$, $T_\alpha:C_\alpha\times I\to C_\alpha$ ser una deformación de retracción de $T_\alpha(x,t)=r(R_\alpha(r^{-1}(x),t))$ a $C_\alpha$. Tenga en cuenta que $\phi_\alpha^{-1}(V)$ es una $C_\alpha$saturada subconjunto de $\phi$ e lo $D^n$ es un cociente de mapa y, a continuación, también lo es $\phi_\alpha|C_\alpha:C_\alpha\to \phi_\alpha(C_\alpha)$. A continuación, $\phi_\alpha|C_\alpha\times 1:C_\alpha\times I\to \phi_\alpha(C_\alpha)\times I$ puede ser definido como el mapa que hace que el siguiente diagrama conmutativo.

$$\begin{equation} \begin{CD} C_\alpha\times I @>\phi_\alpha|C_\alpha\times 1>> \phi_\alpha(C_\alpha)\times I\\ @VVT_\alpha V @VVF_\alpha V\\ C_\alpha @>\phi_\alpha>> \phi_\alpha(C_\alpha) \end{CD} \end{equation}$$