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Question

Encontrar $\lim_{x\to 0^+}\sin(x)\ln(x)$

Usando la regla l'Hôpital: porque obtendremos$0\times\infty$ cuando lo sustituyamos, lo reescribí como:$$\lim_{x\to0^+}\dfrac{\sin(x)}{\dfrac1{\ln(x)}}$ $ para obtener el formulario$\dfrac 00$

Luego diferencié el numerador y el denominador y obtuve:$$\dfrac{\cos x}{\dfrac{-1}{x(\ln x)^2}}$ $

cuando sustituto en esta forma obtengo:$\dfrac{1}{0\times\infty^2}$

¿Podemos tener el resultado$0\times\infty^2=0$? Entonces el límite será$\dfrac10=\infty$?

Answer 1

Sugerencia: ¿sabes cómo calcular $$ \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ sen (x)} {x} $$ y $$ \ lim_ {x \ to0} x \ log (x) = \ lim_ {x \ to0} \ frac {\ log (x)} {1 / x} $$ Si es así, puedes usar $$ \ lim_ {x \ to0} f (x) g (x) = \ lim_ {x \ to0} f (x) \ lim_ {x \ to0} g (x) $$ siempre que existan los límites en el lado derecho.

Answer 2

Como regla general, debe mantener el logaritmo en el numerador: $$ \ lim_ {x \ to0 ^ +} \ frac {\ log x} {1 / \ sin x} $$ Esto es de la forma$\infty/\infty$, por lo que podemos aplicar el teorema de l'Hôpital: $$ \ lim_ {x \ to0 ^ +} \ frac {1 / x} {- \ cos x / \ sin ^ 2x} = \ lim_ {x \ to0 ^ + } - \ frac {\ sen ^ 2x} {x \ cos x} $$ que deberías poder administrar.

Answer 3

Tu computación puede continuar.

Después de aplicar la regla L'H una vez, es suficiente calcular: \begin{align*} \lim x \ln ^2 x &=\lim \frac{\ln ^2 x}{\frac{1}{x}} \\ &=\lim \frac{2 \ln x \cdot \frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} \\ &=\lim \frac{2\ln x}{ - \frac{1}{x}} \\ &=0 \end{align *}

Answer 4

Podemos usar argumentos de aproximación: cuando$x$ es pequeño$\sin(x) \approx x$ y cualquier polinomio crece más rápido que el logaritmo. Por lo tanto$\lim_{x \to 0^+} \sin(x) \ln(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0$