Grupo lineal general y grupo lineal especial

Question

Consideremos el grupo lineal general $$GL(n,\mathbb R)=\{g\in {\mathbb R}^{n\times n}\mid\det(g)\neq 0\}$$ Demostrar que la derivada de la función $f=\det:{\mathbb R}^{n\times n}\to\mathbb R$ viene dada por $$df(g)v=\det(g)\operatorname{trace}(g^{-1}v)$$ por cada $g\in GL(n,\mathbb R)$ y cada $v\in {\mathbb R}^{n\times n}$ . Deducir que el grupo lineal especial $$SL(n,\mathbb R):=\{g\in GL(n,\mathbb R)\mid\det(g)=1\}$$ es un subpliegue liso de ${\mathbb R}^{n\times n}$

Tengo un montón de preguntas que hacer antes de poder resolverlo: ¿Es la dimensión de $GL(n,\mathbb R)$ $n^2$ ? ¿Y cuál es la dimensión del grupo lineal especial? ¿Cuáles son los vectores base del grupo lineal especial? ¿Es el espacio lineal general un espacio métrico? Estaba tratando de calcular $df(g)v$ y por definición, $df(g)v=\lim_{t\to 0}\dfrac{\det(g+tv)-\det(g)}{t}$ . Pero, ¿cómo puedo ampliar $ \det(g+tv)$ ?

Answer 1

Algunas respuestas/consejos:

1. Sí, la dimensión de $GL(n,\mathbb{R})$ es $n^2$ . De hecho, es el subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n^2}$ en la que el determinante (que es continuo) es distinto de cero.

2. El grupo lineal especial es el subconjunto del grupo lineal general en el que el determinante es uno. Ninguno de los dos es en sí mismo un espacio vectorial, por lo que hablar de vectores base no tiene sentido. Una pista: si tenemos $f: M\rightarrow \mathbb{R}$ y considerar $N = f^{-1}(\{c\})$ para algunos $c\in \mathbb{R}$ Cuando es $N$ ¿un colector? ¿Cuál es su dimensión cuando es un colector?

3. Hay varias formas de encontrar la derivada de $\det$ . Intenta escribirlo en coordenadas y utilizar la multilinealidad del determinante. (Esto es más fácil cuando $g=I$ Así que empieza por ahí. Si quieres puedes deducir toda la fórmula a partir de su valor en $g=I$ utilizando el mapa de multiplicación de matrices $GL_n \times GL_n \rightarrow GL_n$ y la regla de la cadena).