estudiando la topología de un conjunto algebraico real

Question

Deje $f_1,\ldots,f_n \in \mathbb{R}[x_1,\ldots,x_m]$ ser polinomios con coeficientes reales y deje $I$ ser el ideal que ellos generan. Denotar por $V_{\mathbb{R}}(I)$ el correspondiente real de la variedad, es decir,$V_{\mathbb{R}}(I)=V_{\mathbb{C}}(I) \cap \mathbb{R}^m$.

Pregunta principal: ¿cuáles son las herramientas que puedo usar para el estudio de la topología de $V_{\mathbb{R}}(I)$ inducida por ejemplo, la topología Euclidiana de $\mathbb{R}^m$? Más específicamente, es necesario realizar cálculos para determinar el número de componentes conectados y, posiblemente, encontrar las ecuaciones que los describen. Tenga en cuenta que ya tengo en mis manos el libro "la topología de la real algebraicas conjuntos" por Akbulut y el Rey, sin embargo, después de flotar a través de ella, todavía no tengo ningún ideal de cómo proceder.

Lado de la pregunta: ¿es cierto que una expresión algebraica es la unión de los componentes conectados en la métrica de la topología?

Answer 1

Resulta que en lugar de estudiar real algebraicas conjuntos, es más natural para el estudio real semialgebraic conjuntos, es decir, aquellos definidos por los sistemas de polinomio de igualdades y desigualdades. Usted puede encontrar algunas herramientas para el estudio de la topología de la real semialgebraic conjuntos descritos aquí. La más útil, que yo recuerde, son de CAD (Cilíndrico Algebraica de Descomposición) y un teorema que cualquier real semialgebraic set $X$ es homotopy-equivalente a $X\cap B(0,r)$ donde $B(0,r)$ es la pelota alrededor de $0$ radio $r$, para lo suficientemente grande $r$ (si mal no recuerdo hay un límite superior eficaz en $r$).

Para responder a su pregunta lado, todos los subconjuntos de un espacio métrico son los sindicatos de sus componentes conectados. Real semialgebraic conjuntos que podemos hacer mejor: tienen sólo un número finito de componentes conectados.