Valores propios de la suma de matrices semidefinidas positivas

Question

Consideremos dos matrices semidefinidas positivas de valor real $A$ y $B$ y supongamos que $C = A + B$ . Estoy interesado en demostrar que $\det(C) \geq \det(A)$ .

Había escuchado a través de un colega que los valores propios de $C$ son mayores que los valores propios de $A$ o los valores propios de $B$ . ¿Existe un nombre para este resultado?

Si pudiera obtener un nombre para este resultado, podría argumentar que $\det(C) = \prod_{i=1}^n \lambda_i \geq \prod_{i=1}^n \gamma_i = \det(A)$ , donde $\gamma_i$ es el $i$ El valor propio de $A$ y $\lambda_i$ es el $i$ El valor propio de $C$ .

¿Existe un nombre para este resultado, o un documento o libro que pueda citar?

Answer 1

Utilizamos el resultado dado en esta pregunta : si $A$ y $B$ son dos matrices simétricas positivas definidas, entonces $\det(A+B)>\det(A)$ .

En su caso, $A$ y $B$ no son necesariamente positivas definidas, pero $A+B+2k^{-1}Id$ es tan $\det(A+B+2k^{—1})> \det(A+k^{-1})$ y tomando el límite $k\to +\infty$ , $\det(A+B)\geq\det(A)$ .

Answer 2

Se puede demostrar la siguiente afirmación: dado $A\succ 0$ y $B\succeq 0$ se sostiene que $\det(A+B)\geq\det(A)+\det(B)$ y la igualdad se mantiene si $B=0$ .

Si una de sus matrices es efectivamente definida positiva (es decir, no singular), esto responde a su pregunta. ¿Te sirve de algo?