De hecho, los armónicos esféricos son inadecuados, ya que no son ortogonales en el dominio restringido. Esto es particularmente notable en estudios a pequeña escala como ACT y BOOMERanG, pero incluso los estudios de "cielo completo" enmascaran los datos malos. COBE, por ejemplo, enmascaró todo el plano galáctico, por lo que el problema es conocido desde entonces.
La solución presentada por Górsky ( 1994 ApJ, 430, L85 ) es ortogonalizar con Gram-Schmidt los armónicos esféricos según el producto interior en el dominio restringido. El procedimiento es el siguiente:
- Ordenar los armónicos esféricos $Y_{\ell m}$ en un vector de columnas $y$ con $Y_{\ell m}$ ser elemento $\ell^2 + \ell + 1 + m$ de $y$ .
- Aplicar pesos a cada $y_i$ basado en los efectos de la pixelización, lo que resulta en $\tilde{y}_i$ .
- Construir la matriz $W$ según $W_{ij} = \langle \tilde{y}_i, \tilde{y}_j \rangle_\text{cut sky}$ .
- Choleski-decompose $W = L L^\mathrm{T}$ .
- Definir un nuevo vector de funciones base $\psi_i$ , donde $\psi = L^{-1} \tilde{y}$ .
El conjunto resultante es ortonormal: $\langle \psi_i, \psi_j \rangle_\text{cut sky} = \delta_{ij}$ . La relación entre las bases es tal que si $f = \sum_i a_i y_i$ y $f\rvert_\text{cut sky} = \sum_i c_i \psi_i$ entonces $c_i = L_{ji} a_j$ y $a_i = L^{-1}_{ji} c_j$ . Como señala el autor, el carácter triangular inferior de $L$ evita que las bases se revuelvan demasiado.
Tengo entendido que este método no se adapta especialmente bien al número de píxeles $N$ en la imagen (este tipo de métodos suelen ser $\mathcal{O}(N^2)$ o $\mathcal{O}(N^3)$ ).
Una alternativa es utilizar el dominio restringido de forma ingenua y luego deshacer el efecto estadístico promedio de la no ortogonalidad. Esto se hizo en Hivon et al. ( 2002 ApJ, 567, 2 ).
Su teoría predice los valores $C_\ell = 1/(2\ell+1) \cdot \sum_{m=-\ell}^\ell \lvert a_{\ell m} \rvert ^2$ para alguna función $f = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell a_{\ell m} Y_{\ell m}$ . Usted mide $f$ en algunos lugares, con certeza variable, y con ruido y otros efectos instrumentales, y se quiere extraer los mejores valores para $C_\ell$ de sus datos.
El procedimiento propuesto puede resumirse como sigue:
- Definir la función de ponderación $W$ en el cielo (que puede desaparecer en algunos lugares).
- Haz la descomposición armónica esférica ingenua de tus datos: $\tilde{a}_{\ell m} = \int_\text{sky} f W Y_{\ell m}^* \,\mathrm{d}\Omega$ .
- Papelera $m$ como siempre: $\tilde{C}_\ell = 1/(2\ell+1) \cdot \sum_{m=-\ell}^\ell \lvert \tilde{a}_{\ell m} \rvert^2$ .
- Descomponer la función de ponderación: $w_{\ell m} = \int_\text{sky} W Y_{\ell m}^* \,\mathrm{d}\Omega$ .
- Calcular el espectro de potencia de la función de ponderación $\mathcal{W}_\ell = 1/(2\ell+1) \cdot \sum_{m=-\ell}^\ell \lvert w_{\ell m} \rvert^2$ .
- Calcular los elementos de la matriz $$ M_{\ell_1\ell_2} = \frac{2\ell_2+1}{4\pi} \sum_{\ell_3} (2\ell_3+1) \mathcal{W}_{\ell_3} \begin{pmatrix} \ell_1 & \ell_2 & \ell_3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}^2 $$ utilizando el Símbolo de Wigner 3-j .
- La predicción teórica se relaciona con los valores observados en un sentido estadísticamente promediado: $\langle \tilde{C}_\ell \rangle = \sum_{\ell'} M_{\ell\ell'} \langle C_{\ell'} \rangle$ .
El documento continúa discutiendo dónde encaja el ancho del haz, el filtrado y el ruido en el análisis, modificando cómo se utiliza el paso (7) para extraer los estimadores de máxima verosimilitud para $C_\ell$ dado $\tilde{C}_\ell$ .
