¿Qué es

Question

Estas son dos preguntas que me venían a la mente mientras yo estaba mirando este problema.

• ¿Qué es $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{x=0}^{n-1} \frac{n-x}{n+x}$?

Estoy bastante seguro de que la respuesta es $\infty$ porque como $n$ se acerca a $\infty$ hay más términos que están muy cerca de $1$ (si $n = 1,000,000$, entonces todos los términos hasta $x = 5026$ son mayores o iguales a $0.99$, y si $n = 1,000,000,000$, entonces usted tiene que conseguir a $x = 5025126$ para los términos a caer por debajo de $0.99$), pero no sé cómo demostrarlo.

También comprobé el parcial diferencias (es decir, entre el$n = 1$$n = 2$, entre el$n = 2$$n = 3$, y así sucesivamente) y noté que todos tienden a un número de alrededor de $0.386294$.

• Hay un nombre para este número, y cuál es su significado? WolframAlpha parece sugerir que tiene algo que ver con la función Digamma, pero no estoy seguro de lo que se trata.

Answer 1

$$\sum_{x=0}^{n-1} \frac{n-x}{n+x} $$ $$=\sum_{x=0}^{n-1} \frac{-(n+x)+2n}{n+x}$$ $$=-\sum_{x=0}^{n-1} \frac{n+x}{n+x} +2\sum_{x=0}^{n-1} \frac{n}{n+x}$$ $$=-n+2n\sum_{x=0}^{n-1} \frac{1}{n+x}$$ $$=-n+2n\sum_{x=n}^{2n-1} \frac{1}{x}$$ $$=-n +2n(H_{2n-1}-H_{n-1})$$

Donde $H_k$ $k$ésimo número armónico. La armónica de los números son realmente conectado a la función digamma $\psi$ por

$$H_k = \gamma + \psi(k+1),$$

donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante. Ahora, utilizando las propiedades de la función digamma (ver: http://mathworld.wolfram.com/DigammaFunction.html o http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function), tenemos

$$H_{2n-1}-H_{n-1} = \psi(2n) - \psi(n) = \frac{1}{2}\psi(n+\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}\psi(n)+\ln 2 \geq \ln 2$$

Así, vemos que la suma original tiende a infinito como $n\to \infty.$

La diferencia entre la suma de $n$ $n-1$ es

$$-n +2n(H_{2n-1}-H_{n-1}) + (n-1) - 2(n-1)(H_{2(n-1)-1}-H_{(n-1)-1})$$ $$= 2n(H_{2n-1}-H_{n-1}-H_{2n-3}+H_{n-2}) + 2(H_{2(n-1)-1}-H_{(n-1)-1}) -1 $$ $$= 2n(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n-2}-\frac{1}{n-1}) + 2(H_{2(n-1)-1}-H_{(n-1)-1}) -1$$ $$=-\frac{2n}{4 n^2-6 n+2} + 2(H_{2(n-1)-1}-H_{(n-1)-1}) -1$$

Ahora como $n\to \infty$, la primera parte se dedica a la $0$ y el segundo a $2\ln 2 -1 \approx 0.386294$. La segunda parte ya fue calculado anteriormente (n) y $\frac{1}{2}\psi(n+\frac{1}{2}) - \frac{1}{2}\psi(n)$ tiende a cero, ya que $\psi$ es monótona en $\mathbb{R}_+$$\psi(k+1) - \psi(k) =\frac{1}{k}$.

Answer 2

Usted puede utilizar el enfoque integral como

$$ \sum{k=0}^{n-1}\frac{n-t}{n+t} \sim \int{0}^{n-1}\frac{n-t}{n+t} dt. $$

Ver el principal resultado de la prueba integral.

Answer 3

$\newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ $\ds{}$ \begin{align} \color{#66f}{\large\lim_{n \to \infty}\sum_{x = 0}^{n - 1}{n - x \over n + x}} &=\lim_{n \to \infty}\bracks{\sum_{x = 0}^{n - 1}{2n \over n + x} - n} =\lim_{n \to \infty}\bracks{2n\sum_{x = 0}^{n - 1}{1/n \over 1 + x/n} - n} \\[3mm]&=\lim_{n \to \infty}\bracks{2n\int_{0}^{1 - 1/n}{\dd x \over 1 + x} - n} =\lim_{n \to \infty}\bracks{2n\ln\pars{2 - {1 \over n}} - n} =\color{#66f}{\large\infty} \end{align}