En clase, hemos estudiado el cálculo diferencial y el cálculo integral a través de los límites. Hemos reconstruido los conceptos desde cero, comenzando por la definición de límites, operaciones lícitas, derivados y, a continuación, las integrales. Pero el maestro realmente hizo todo lo posible para evitar hablar de infinitessimals. Por ejemplo, cuando hablamos acerca de la variable de cambios que hemos tenido que tragar que por cierto $u=\phi(x)$, $du = \phi'(x)dx$. Lo que me molesta es cuánto hacemos uso de ellos en las matemáticas y la física sin la comprensión de ellos. Mi pregunta es ¿cómo puedo aprender a manipular infinitessimals? He leído un artículo en el campo de la infinitessimals pero no acababa de satisfacer mi curiosidad. Lo que la literatura te recomiendo, sobre el tema sabiendo que tengo algunos antecedentes sobre álgebra lineal (espacios vectoriales, matrices), estructuras algebraicas (grupos, anillos, campos) y monovariable cálculo.
Respuestas
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El tratamiento habitual de cálculo de hoy evita el uso de infinitesimals completamente. $\mathrm{d}x$ es simplemente una notación que no literalmente, se refieren a un infinitesimal. Dicho esto, hay un enfoque alternativo que utiliza infinitesimals conocido como análisis no estándar. Los artículos de Wikipedia en análisis no estándar y no estándar de cálculo son probablemente un buen lugar para empezar si usted simplemente desea saber si los temas de su interés. Tenga en cuenta que estos sistemas no el tratamiento habitual de cálculo y la gente se confunde si no explícitamente estado en el que están trabajando en ellos.
Espero que esto relevante para lo que se les pide...
Centrarse en $u = f(x), du = f'(x) dx,$ tomar esto como una manera fácil de escribir $u = f(x), \Delta u = f'(x) \Delta x,$ donde $\Delta x$ es un intervalo en $x$ que podemos hacer arbitrariamente pequeño. Esta fórmula tiene sentido para $f$ liso porque en una lo suficientemente pequeña región alrededor de $x,$ $f$ a nivel local es lineal.
Recordar que se puede escribir $f(x) \approx f(x_0) + (x-x_0) f'(x_0) + {\cal O}((x - x_0)^2).$, Lo $\Delta x \equiv x-x_0,$ $\Delta f = f(x) - f(x_0),$ la fórmula original se obtiene haciendo caso omiso de la ${\cal O}(\Delta x^2)$. Estas definiciones tienen sentido porque hemos asumido que $f$ es suave, por lo $\Delta f$ varía en proporción a $\Delta x$ (pensar en el delta épsilon-definición de continuidad). Nada de esto requiere de infinitesimals, solo requiere de la continuidad de la función y los intervalos que podemos hacer "suficientemente pequeño". Esta es la razón por la multiplicación por cantidades como $dx$ tiene sentido.
Que trata de las "reales" de infinitesimals es el campo de análisis no estándar.
El mejor libro de texto de cálculo basado en infinitesimals es Keisler del libro de texto de Primaria de Cálculo. Esta opinión está basada en nuestra experiencia en la enseñanza del cálculo con infinitesimals basada en el libro en los últimos tres años. Nos han enseñado a más de 250 estudiantes por ahora el uso de este método, obteniéndose mejores resultados que los grupos paralelos que no hizo uso de infinitesimals, basado en los resultados de los exámenes y las evaluaciones de los maestros al final del curso.
