¿Cuando, para enteros positivos arbitrarios $m$ y $n$, es la siguiente suma igual a $0$?
$$ \sum_{i=0}^{mn-1} (-1) ^ {\lfloor i / m \rfloor + \lfloor i / n\rfloor} $$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La suma es $0$ si y sólo si $m$ $n$ contienen diferente número de factores de $2$.
Si ninguno de los dos contiene un factor de $2$, el número de sumandos es impar, por lo que la suma puede no ser $0$.
Si ambos contienen un factor de $2$, vamos a $m=2k$$n=2l$, e $i=2kla+2b+c$$a,c\in\{0,1\}$$0\le b\lt kl$. Entonces
$$ \left\lfloor\frac im\right\rfloor=\left\lfloor\frac{2kla+2b+c}{2k}\right\rfloor=2la+\left\lfloor\frac bk\right\rfloor $$
y de la misma manera
$$ \left\lfloor\frac en\right\rfloor=\left\lfloor\frac{2kla+2b+c}{2l}\right\rfloor=2ka+\left\lfloor\frac bl\right\rfloor\;, $$
tan solo disponemos de $4$ los tiempos de las contribuciones para el caso de $k,l$ $4$ diferentes pares de valores de$a$$c$.
Así, por inducción podemos dividir los factores comunes de $2$. Que deja el caso en que uno de $m$ $n$ es regular y el otro es impar. En este caso, $i\to mn-1-i$ voltea la paridad de la exponente, y por lo tanto el signo del sumando, por lo que la suma es $0$.
