Mostrando que $\mathbb{R}$ es localmente isométrico a $S^1$

Question

<blockquote> <p>Muestran que $f:\mathbb{R}\to S^1$ de $f(t)=e^{i t}$ es una isometría local entre colectores de Riemanninan.</p> </blockquote> <p>Así que, básicamente tenemos que mostrar que cada $p\in\mathbb{R}$ allí existe $U\subseteq\mathbb{R}$ con $p\in U$ tal que $f:U\to f(U)$ es una isometría, es decir, $\left<{u,v}\right>_q=\left<{df_q(u),df_q(v)}\right>_{f(q)}$ cada $q\in U$ y $u,v\in T_q(U)$.</p> <p>Supongo que sólo podemos tomar $T_q(U)=\mathbb{R}$ cada $q$. Pero realmente no sé cómo empezar. ¿Alguien me dar una sugerencia? ¿Cómo podemos calcular el % diferencial $df_p$?</p> <p>Gracias.</p>

Answer 1

La métrica de Riemann en $\mathbb R$ $g=dt^2$ $\mathbb C$ induce una métrica en $S^1$$h=\frac 1 2 (dz\otimes d\bar z+d\bar z\otimes dz)$.

Para $f$ a ser un local de isometría, tiene que ser un local diffeomorphism y $f^*h =g$.

Primero comprobamos que $f$ es un local diffeomorphism. Desde que había tenido problemas para calcular el diferencial, voy a explicar esto con más detalle. Pero primero, por favor, eche un vistazo en mi respuesta aquí.

Vemos que, como está escrito en el trivial gráfico, $f$ es, obviamente, suave y $df$ puede ser calculado utilizando el espacio vectorial derivado: $$ df_t = (e^{es}) \neq 0 \quad \forall t \in \mathbb R $$ Por lo tanto el rango de $df$ es 1 y por lo $df_t$ es un isomorfismo para cada una de las $t\in\mathbb R$.

En segundo lugar, se calcula el pullback de $h$ bajo $f$. Hay dos maneras de hacer esto. En primer lugar, nos vamos a hacerlo de la manera "formal":

$T\mathbb R$ es distribuido por $\partial_t = (1)$, y para que el vector encontramos $$ df(\partial_t) = (e^{es}) \cdot (1) = e^{it}, $$ por lo tanto $$ \langle \partial_t, \partial_t \rangle = 1 = \frac 1 2 \left( (e^{es})(-i e^{-}) + (- i e^{-}) (i e^{es}) \right) = \langle df(\partial_t), df(\partial_t) \rangle. $$ La (en mi opinión) es más fácil y más instructivo es la nota que $$ f^*dz := d(z\circ f) = d(e^{es}) = e^{es} dt, $$ y $$ f^*d\barra z := d(\bar z\circ f) = d(e^{-}) = - i e^{-} dt, $$ véase también mi respuesta aquí. Así tenemos $$ f^*h = \frac 1 2 \left(e^{es} e^{-} dt^2 + e^{-} e^{es} dt^2 \right) = dt^2 = g. $$ Por lo tanto, $f$ es una isometría.