He tratado de demostrar un enunciado ligeramente diferente a la definición del principio de ordenación del pozo dada por Lang en Undergraduate Algebra y dada aquí como referencia:
Todo conjunto no vacío de números enteros $\geq 0$ tiene un elemento mínimo.
He tratado de demostrarlo: Cualquier conjunto no vacío $A$ de enteros que está acotado por encima tiene un elemento mayor.
Sin embargo, me queda la duda de qué significa que un conjunto de enteros esté acotado. ¿Este límite tiene que ser también un número entero o puede ser un número real? ¿Cuál es la definición general?
Asumiendo que es un número entero creo que tengo una prueba de mi afirmación:
Desde $A$ está acotado por encima hay un $q \in Z$ tal que $m\leq q$ para todos $m \in A$ . Consideremos ahora el conjunto $A' = \{n \mid n = q - m$ para algunos $ m \in A\}$ . $A'$ obviamente no está vacío, ya que $A$ no está vacío. Tenga en cuenta que para cualquier $n \in A'$ $n \geq 0$ y por lo tanto el principio de ordenación del pozo da una $s \in A'$ tal que para todo $n \in A'$ , $s \leq n$ . Como $s \in A'$ esto implica que hay un $m' \in A$ tal que $s = q - m'$ . Por lo tanto, para todos los $n \in A'$ , $q - m' \leq n = q - m$ y como resultado para todos $m \in A$ , $m \leq m'$ y así $m'$ es nuestro mayor elemento.
Si alguien pudiera verificarlo o darme alguna crítica se lo agradecería ya que estoy trabajando en mi técnica de pruebas.
Gracias.
