Pruebalo $\displaystyle{\frac{\cos A+\cos B - \cos C}{\sin A+\sin B - \sin C}} \geq -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Question

Todos los ángulos en un triángulo$A,B,$ y$C$ son menores que$120^{o}$

Pruebalo $\displaystyle{\frac{\cos A+\cos B - \cos C}{\sin A+\sin B - \sin C}} \geq -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

Considere el triángulo con ángulos$\small{A_1=120-A, B_1=120-B, C_1=120-C}$ Aplicando la desigualdad del triángulo en este triángulo con ángulos$A_1, B_1,$ y$C_1$,

ps
$$\small{B_1 C_1+C_1 A_1 > A_1 B_1}$ $$$\small{\sin A_1 +\sin B_1 > \sin C_1}$ $

que al aplicar$$\small{\sin (120-A) +\sin (120-B) > \sin (120-C)}$ identidades

ps

Y dado que$\sin(x-y)$, y por lo tanto dividiendo por esto es perfectamente legítimo

Usando esta observación y volviendo a escribir$$\small{\frac{\sqrt{3}}{2}(\cos A+\cos B-\cos C) + \frac{1}{2}(\sin A+ \sin B-\sin C) > 0} \tag{1}$, obtenemos

$\small{a+b > c , \sin A+\sin B - \sin C > 0}$ $$(1)$ $

Answer 2

Algunos de fuerza bruta...

Deje $f$ ser su cociente, dependiendo $a$ $b$ (he eliminado $c$, debido a $c=\pi-a-b$):

In[1]:= f = (Cos[a] + Cos[b] - Cos[Pi - a - b]) / (Sin[a] + Sin[b] - Sin[Pi - a - b])

        Cos[a] + Cos[b] + Cos[a + b]
Out[1]= ----------------------------
        Sin[a] + Sin[b] - Sin[a + b]

Observe que Mma es ser inteligente y ha midly reescrito nuestra expresión...

Encontrar los puntos donde el gradiente de $f$ desaparece:

In[2]:= Reduce[{D[f, a] == 0, D[f, b] == 0}, {a, b}]

Out[2]= (C[1] | C[2]) \[Element] Integers && 

            -2 Pi                     -2 Pi
>    ((a == ----- + 2 Pi C[1] && b == ----- + 2 Pi C[2]) || 
              3                         3

             2 Pi                     2 Pi
>      (a == ---- + 2 Pi C[1] && b == ---- + 2 Pi C[2]))
              3                        3

Yo solía Reduce e no Solve, debido a que el último se queja un poco, inofensivamente en este caso; Reduce da la respuesta en la molesto formulario de arriba, aunque. En cualquier caso, esto nos dice que los puntos críticos de la función que se producen en los puntos de la forma $(-2\pi/3+2\pi n,-2\pi/3+2\pi m)$ $(2\pi/3+2\pi n,2\pi/3+2\pi m)$ ingenio $n$, $m\in\mathbb Z$. Para encontrar el valor de $f$ en estos puntos se sufficies a tomar $n=m=0$, debido a $f$ es periódica en $a$ y en $b$.

In[3]:= f /. {a -> -2 Pi/3, b -> -2 Pi/3}

           1
Out[3]= -------
        Sqrt[3]

In[4]:= f /. {a -> 2 Pi/3, b -> 2 Pi/3}

             1
Out[4]= -(-------)
          Sqrt[3]

Esto nos dice que el valor mínimo de $f$ $-1/\sqrt{3}$ y demuestra lo que desea.