Cómo encontrar una derivada parcial de una función definida implícitamente en un punto

Question

<blockquote> <p>Supongamos que el % de relación $\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2} + xy + xz =\frac{7}{2}$define $z$ en función de $x, y$ alrededor del punto de $(1, 1, 1)$. Encontrar $\frac{dz}{dy}$ $(1, 1, 1)$. Diferenciación implícita puede ser utilizada.</p> </blockquote> <p>No estoy seguro de cómo abordar este problema. ¿Todo lo que sé es que tiene algo que ver con derivadas parciales? ¿Alguien por favor me puede ayudar?</p>

Answer 1

Queremos encontrar la velocidad en que $z$ cambia cuando fijar $x$ $y$ de variar. Tenga en cuenta que esta tasa puede cambiar dependiendo de qué $x$ es, pero cuando esta tasa, tratamos $x$ como una constante.

Diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto a los $y$, que produce $$ \begin{align} \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^2}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{z^2}{2} + xy + xz\right) &=\;\;\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{7}{2}\right)\\ \quad\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{x^2}{2}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y^2}{2}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{z^2}{2}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(xy\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(xz\right) &=\;\;\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{7}{2}\right)\\ 0+y+z\frac{\partial z}{\partial y}+x+x\frac{\partial z}{\partial y} & =\;\; 0\\\ \frac{\partial z}{\partial y}&=\;\;\frac{-x-y}{x+z} \end{align} $$