Realización de cortes en espiral para que todos los segmentos tengan la misma longitud

Question

El problema que tenemos es el siguiente:

Disponemos de rollos de banda magnética (de unos 2 cm de ancho) y están enrollados en un rollo con unas 30 vueltas y unos 10 m de longitud. Los rollos son de unos 2 cm de ancho como he dicho.

Ponemos los rollos en una varilla y los desenrollamos a mano y con un cuchillo cortamos segmentos de unos 5 cm de longitud. Esto lleva mucho tiempo.

Hemos pensado en hacer los cortes directamente en el rollo. El problema es que los devanados interiores son más pequeños que los exteriores, por lo que si hacemos los cortes directamente en el rollo obtendremos segmentos de longitudes diferentes en todo el recorrido.

¿Existe una forma geométricamente correcta de hacer los cortes para que todos los segmentos salgan de la misma longitud?

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Así es como me imaginé que podría funcionar (pero desafortunadamente los segmentos saldrán en diferentes longitudes, por eso hago esta pregunta)

Y así es como los cortamos hasta ahora:

Entonces, ¿cómo puedo calcular dónde hacer los cortes y cómo hacer los cortes directamente en la espiral (el rollo), con los segmentos que salen a la misma longitud. ¿Es posible?

Answer 1

Si los rodillos son redondos y las bobinas están uniformemente espaciadas (radialmente), no creo que esto sea posible. La mayoría de las longitudes arbitrarias, en relación con el diámetro del rollo, producen cortes dispersos (marcas rojas abajo) que no se alinean:

Ciertas longitudes dan lugar a cortes más o menos alineados, pero no forman líneas rectas:

Si mi simulación no tiene problemas de imprecisión numérica, parece que los óptimos locales de alineación empeoran a medida que aumenta la longitud del segmento. Un ejemplo de lo mejor que pude encontrar en la región de esta longitud:

Answer 2

Tengo un enfoque ligeramente diferente. Básicamente, la espiral de Arquímedes (como se indica en la respuesta de Sr. Mago ) no está describiendo con precisión la curva de los devanados... No he calculado la diferencia que supone, pero eso dependería de los parámetros específicos. Sin embargo, mi modelo no tiene en cuenta la flexibilidad de la banda.

Modelé la situación componiendo segmentos de curvas circulares con líneas rectas, de modo que la tira se enrolle alrededor del rodillo hasta que la línea tangente del lado interior de la tira apunte hacia el lado exterior de la parte circular del último enrollamiento. Esto hace que la curva modelo sea una composición de

1. segmentos circulares (magenta en mi modelo) centrados en el centro del rollo
2. líneas rectas paralelas (verdes en mi modelo) definidas por la primera tangente del círculo central que interseca el comienzo del primer segmento circular mencionado anteriormente
3. segmentos circulares (naranja en mi modelo) centrados en el inicio del primer segmento circular mencionado en 1.

Esto se puede ver en mi documento modelo en el siguiente enlace (hecho con GeoGebra):

Modelo GeoGebra de la situación

Como Sr. Mago Como ya se ha señalado, los cortes sólo resultan prácticos para determinados parámetros de coincidencia. En el ejemplo dado al abrir mi documento es realmente posible cortar la mayoría de los segmentos con éxito a partir de una mitad del rollo y luego se podrían cortar los múltiplos restantes de la longitud del segmento.

De lo contrario, se podría calcular en algunos residuos con el fin de tener una distancia entre los cortes que cumple con el diámetro del rollo y el espesor de la tira bien para que los cortes pueden ser inicialmente de la longitud equivocada, pero con poco desperdicio y luego después de apilar y cortar estos segmentos. ¡Hay muchas posibilidades a considerar!