¿Por qué hay ambigüedad en la energía del campo?

Question

Estaba leyendo Energía de campo y momento de campo de Feynman's Lectures on Physics Vol.II. Allí dedujo la densidad de energía $u$ y el vector de Poynting como $$u = \frac{\epsilon_0}{2} \mathbf E\cdot\mathbf E + \frac{c^2\epsilon_0}{2} \mathbf B\cdot \mathbf B\\ \mathbf S= \epsilon_0c^2\mathbf E \times \mathbf B\;.$$

Pero luego dijo que puede haber número infinito de valores posibles de $u$ y $\bf S$ . He aquí el extracto en cuestión:

Antes de abordar algunas aplicaciones de las fórmulas de Poynting, nos gustaría decir que en realidad no las hemos "demostrado". Todo lo que hicimos fue encontrar una posible "u" y una posible "S". Cómo sabemos que haciendo más malabarismos con los términos no podríamos encontrar otra fórmula para " $u$ " y otra fórmula para " $\bf S$ "? El nuevo $\bf S$ y el nuevo $u$ serían diferentes, pero seguirían satisfaciendo la Ec. (27.6). Es posible. Se puede hacer, pero las formas que se han encontrado siempre implican varias derivadas del campo (y siempre con términos de segundo orden como una segunda derivada o el cuadrado de una primera derivada) . De hecho, hay un infinitas posibilidades diferentes para $u$ y $\bf S$ , y hasta ahora a nadie se le ha ocurrido una forma experimental de saber cuál es la correcta. La gente ha adivinado que la más sencilla es probablemente la correcta, pero debemos decir que no sabemos con certeza cuál es la ubicación real en el espacio de la energía del campo electromagnético. Así que nosotros también tomaremos la salida fácil y diremos que la energía de campo viene dada por la Ec. (27.14). Entonces el vector flujo $\bf S$ debe venir dada por la Ec. (27.15). Es interesante que no parezca haber una única forma de resolver la indefinición en la localización de la energía del campo. A veces se afirma que este problema puede resolverse utilizando la teoría de la gravitación en el siguiente argumento. En la teoría de la gravitación, toda energía es fuente de atracción gravitatoria. Por lo tanto, hay que localizar correctamente la densidad energética de la electricidad para saber en qué dirección actúa la fuerza de gravedad. Sin embargo, hasta ahora nadie ha realizado un experimento tan delicado que permita determinar la localización exacta de la influencia gravitatoria de los campos electromagnéticos. Que los campos electromagnéticos por sí solos puedan ser la fuente de la fuerza gravitatoria es una idea de la que es difícil prescindir. De hecho, se ha observado que la luz se desvía al pasar cerca del sol; podríamos decir que el sol atrae la luz hacia sí. ¿No quiere admitir que la luz tira igualmente del sol? De todos modos, todo el mundo acepta siempre las expresiones sencillas que hemos encontrado para la localización de la energía electromagnética y su flujo. Y aunque a veces los resultados obtenidos al utilizarlas parecen extraños, nadie ha encontrado nunca nada malo en ellas, es decir, ningún desacuerdo con el experimento. Así que seguiremos al resto del mundo; además, creemos que probablemente sea perfectamente correcto.

Realmente no entendí lo que está diciendo.

En la sección anterior, dedujo la fórmula para $\bf S$ y $u$ y ahora dice que sólo son posible valores; en realidad puede haber infinito ¡número de valores diferentes de los mismos!

Así que mis preguntas son:

$\bullet$ ¿Por qué puede haber infinito número de valores diferentes de $\bf S$ y $u\;?$ ¿Por qué hay la ambigüedad de la energía de campo ?

$\bullet$ ¿Qué quería decir Feynman con indefinición en la localización de la energía de campo ?

$\bullet$ ¿Puede alguien decirme cómo problema puede resolverse mediante teoría de la gravitación como dijo Feynman?

Answer 1

El punto principal del análisis de Feynman es encontrar un par $u,\;\bf S$ tal que $$ \partial_tu+\bf \nabla\cdot\bf S=-\bf E\cdot \bf J $$ que es una condición necesaria para $u,\;\bf S$ como la densidad de energía y el vector de densidad de flujo de energía (es decir, se trata de la ecuación de continuidad para la energía).

Pero la pareja $u,\;\bf S$ derivada por Feynman no es única: podemos encontrar nuevos pares $u',\;\bf S'$ que también puede interpretarse como la densidad de energía y el vector de densidad de flujo de energía del sistema. Para ver esto, definamos $$ u'=u+f $$ y $$ \bf S'=\bf S+\boldsymbol g $$ con $f$ y $\boldsymbol g$ elegidos de forma que $\partial_t f+\nabla\cdot \boldsymbol g=0$ . Entonces es fácil ver que el nuevo par satisface la antigua ecuación de continuidad: $$ \partial_tu'+\bf \nabla\cdot\bf S'=-\mathbf E\cdot \bf J $$

El nuevo $u',\;\bf S'$ y el viejo $u,\;\bf S$ son igualmente buenos para ser interpretados como un vector de densidad de energía y de densidad de flujo de energía para el sistema. Como existe un número infinito de funciones $f,\boldsymbol g$ que satisfagan $\partial_t f+\bf \mathbf\nabla\cdot\boldsymbol g=0$ existe un número infinito de pares posibles $u,\;\bf S$ .

Por ejemplo $f=\partial_t \phi$ (con $\phi=\phi(\mathbf r,t)$ ), y $\boldsymbol g=\bf{\nabla} \phi$ . Si elegimos $\phi$ tal que $\partial_t^2\phi+\mathbf \nabla^2\phi=0$ (es decir onda ), es evidente que $\partial_tf+\mathbf \nabla\cdot\boldsymbol g=0.$ Como existe un número infinito de soluciones $^1$ de $\partial_t^2\phi+\mathbf \nabla^2\phi=0$ entonces existe un número infinito de posibles $f,\;\boldsymbol g$ . Esto a su vez demuestra que existe un número infinito de posibles redefiniciones de $u,\;\bf S$ .

La energía total del sistema es, por definición, $$ U=\int\mathrm d^3\mathbf r \ u(\mathbf r) $$ que, tras la redefinición $u=u'-f$ se convierte en $$ U=\int\mathrm d^3\mathbf r \ u'(\mathbf r,t)-\int\mathrm d^3\mathbf r \ f(\mathbf r,t) $$ pero sabemos que si $\partial_t f+\nabla\cdot\boldsymbol g=0$ entonces $^2$ $$ \int\mathrm d^3\mathbf r \ f(\mathbf r,t)=\text{constant} $$ lo que significa que la nueva energía sólo difiere en una constante $U'=U+\text{const}$ que es irrelevante, ya que sólo podemos medir relativa energías y nunca la absoluto energía.

Esto es casi siempre cierto. En la RG, podemos medir la absoluto cantidad de energía, ya que el Ecuaciones de campo de Einstein dependen del valor real de $u\;, \bf S$ (este par está contenido en el objeto $T_{\mu\nu}$ que encontrarás en el artículo de la wikipedia). Esto significa que si nuestra elección de $\;u,\bf S$ (la dada por Feynman) no es la correcta, entonces podríamos detectarlo por desacuerdo con experimentos donde el campo electromagnético es la fuente de gravitación (esto no es fácil de medir realmente, pero posible en principio).

EDITAR

¿Qué quiere decir Feynman con "indefinición en la localización de la energía de campo"?

La función $u(\bf r)$ es la densidad de energía, es decir, es una función que asigna a cada $\bf r$ la cantidad de energía electromagnética por unidad de volumen en ese punto del espacio . Si $u(\bf r)$ es muy alto en cierto punto $\bf r_0$ podemos decir que en ese punto (lugar) hay una gran cantidad de energía electromagnética. Pero como $u$ no es único, podemos redefinir $u'=u+f$ (como se ha explicado anteriormente), y puede ocurrir que el nuevo $u'$ no es muy alto en $\bf r_0$ pero en otro punto $\bf r'_0$ . Así que.., ¿dónde está la energía electromagnética? en $\bf r_0$ o $\bf r_0'$ ?. No hay una única respuesta posible: depende de la función que elijamos utilizar como densidad de energía $u$ . Si hubiéramos elegido otra (y podemos hacerlo si queremos), obtendríamos otra respuesta.

Esto significa que, en general, no podemos decir donde la energía electromagnética, porque esto depende de si utilizamos $u$ o $u'$ . La energía de localización del campo electromagnético no está bien definida.

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$^1$ por ejemplo, si tomamos $\omega$ cualquier número real, y $\boldsymbol k$ cualquier vector tal que $|\boldsymbol k|=\omega$ entonces $\mathrm e^{i\ \omega t-\boldsymbol k\cdot \mathbf r}$ es una solución de la ecuación de onda.

$^2$ en realidad esto es bastante fácil de demostrar: \begin{align} \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\int\mathrm d^3\mathbf r \ f(\mathbf r,t)&= \int\mathrm d^3\bf r \ \partial_tf(\mathbf r,t) \\&=-\int\mathrm d^3\mathbf r \ \mathbf \nabla \cdot\boldsymbol g(\mathbf r,t) \\&=-\oint\mathrm d^2\boldsymbol s \cdot\boldsymbol g(\mathbf r,t)=0\;. \end{align} donde utilicé el Teorema de Gauss y el hecho de que $\boldsymbol g(\mathbf r\to\infty)=0$ .