Integración de la función trignometric complicado

Question

Mientras que la solución para la alimentación de radiación de una antena dipolo, me quedaba atascado en este paso durante el cálculo.

$\displaystyle \int_0^{\pi}\frac{cos^2(\frac{\pi}{2}cos\theta)}{sin\theta} d\theta$

los métodos que actualmente tengo en mente son numéricos de integración utilizando un software como MATLAB o la sustitución de la serie de taylor.

sin embargo, me gustaría saber si hay alguna elegante forma cerrada de sustitución por medio de la variable de cambio, etc.

la sustitución de $cos\theta$$t$, y multiplicando el numerador y el denominador por $sin\theta$, tengo ,

$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{cos^2(\frac{\pi}{2}t)}{1-t^2} dt$

Sin embargo, no sé cómo proceder después de este paso

Answer 1

Sustituyendo $t=\cos{\theta}$ es un buen primer paso. Después de eso, tenga en cuenta que el integrando es ahora una función par de $t$, por lo que la integral de $t=-1$ $t=1$será igual al doble de la integral de la $t=0$$t=1$. A continuación, me gustaría recomendar reescribir el integrando el uso de la fracción parcial de descomposición,

$$\frac{2}{1-t^2}=\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t},$$

y el trigonométricas de energía de reducción de identidad,

$$\cos^2{\varphi}=\frac{1+\cos{\left(2\varphi\right)}}{2}.$$

Por lo tanto,

$$\begin{align} \mathcal{I} &=\int_{0}^{\pi}\frac{\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}\cos{\theta}\right)}}{\sin{\theta}}\,\mathrm{d}\theta\\ &=\int_{-1}^{1}\frac{\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}t\right)}}{1-t^2}\,\mathrm{d}t\\ &=2\int_{0}^{1}\frac{\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}t\right)}}{1-t^2}\,\mathrm{d}t\\ &=\int_{0}^{1}\left(\frac{\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}t\right)}}{1+t}+\frac{\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}t\right)}}{1-t}\right)\,\mathrm{d}t\\ &=\int_{0}^{1}\frac{\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}t\right)}}{1+t}\,\mathrm{d}t+\int_{0}^{1}\frac{\cos^2{\left(\frac{\pi}{2}t\right)}}{1-t}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac12\int_{0}^{1}\frac{1+\cos{\left(\pi t\right)}}{1+t}\,\mathrm{d}t+\frac12\int_{0}^{1}\frac{1+\cos{\left(\pi t\right)}}{1-t}\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}$$

Transformar la primera integral en la última línea de arriba mediante la sustitución de $t=2u-1$ y transformar la segunda integral mediante la sustitución de $t=1-v$ el uso de las respectivas identidades trigonométricas:

$$\cos{\left(\pi(2u-1)\right)}=-\cos{\left(2\pi u\right)},$$

y

$$\cos{\left(\pi(1-v)\right)}=\cos{\left(\pi\right)}\cos{\left(\pi v\right)}+\sin{\left(\pi\right)}\sin{\left(\pi v\right)}=-\cos{\left(\pi v\right)},$$

ambos de los cuales pueden ser derivados desde el único ángulo-además de la identidad,

$$\cos{\left(\alpha+\beta\right)}=\cos{\left(\alpha\right)}\cos{\left(\beta\right)}-\sin{\left(\alpha\right)}\sin{\left(\beta\right)}.$$

Esto produce,

$$\begin{align} \mathcal{I} &=\frac12\int_{0}^{1}\frac{1+\cos{\left(\pi t\right)}}{1+t}\,\mathrm{d}t+\frac12\int_{0}^{1}\frac{1+\cos{\left(\pi t\right)}}{1-t}\,\mathrm{d}t\\ &=\frac12\int_{\frac12}^{1}\frac{1+\cos{\left(\pi (2u-1)\right)}}{u}\,\mathrm{d}u+\frac12\int_{0}^{1}\frac{1+\cos{\left(\pi (1-v)\right)}}{v}\,\mathrm{d}v\\ &=\frac12\int_{\frac12}^{1}\frac{1-\cos{\left(2\pi u\right)}}{u}\,\mathrm{d}u+\frac12\int_{0}^{1}\frac{1-\cos{\left(\pi v\right)}}{v}\,\mathrm{d}v\\ &=\frac12\int_{\pi}^{2\pi}\frac{1-\cos{\left(x\right)}}{x}\,\mathrm{d}x+\frac12\int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos{\left(x\right)}}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac12\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos{\left(x\right)}}{x}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac12\operatorname{Cin}{\left(2\pi\right)}\\ &=\frac{\gamma+\ln{\left(2\pi\right)}-\operatorname{Ci}{\left(2\pi\right)}}{2}. \end{align}$$

Answer 2

Sugerencia

Utilice la fórmula del ángulo doble para el numerador $$\cos^2(z)=\frac 12\big(\cos(2z)+1\big)$ $

Utilizar la fracción parcial descomposición para el denominador y, para cada uno de la integral resultante, hacer otro cambio de variable para llegar a algo mirando como $$\int \frac{\cos(z)}{z}dz$$ By the end, you will arrive to $$\displaystyle \int\frac{cos^2(\frac{\pi}{2}t)}{1-t^2} dt=\frac{1}{4} \Big(-\text{Ci}(\pi -\pi t)+\text{Ci}(\pi t+\pi )+\log (1-t)-\log (t+1)\Big)$$ and, as a result, $% $ $\displaystyle \int_0^{\pi}\frac{cos^2(\frac{\pi}{2}cos\theta)}{sin\theta} d\theta=\frac{1}{2} \Big(\gamma +\log (2 \pi )-\text{Ci}(2 \pi )\Big)$