¿Soporte compacto vs desapareciendo en el infinito?

Question

Considerar los dos conjuntos

$$ C0 = { f: \mathbb R \to \mathbb C \mid f \text{ is continuous and } \lim{|x|\to \infty} f(x) = 0}$$

$$ C_c = { f: \mathbb R \to \mathbb C \mid f \text{ is continuous and } \operatorname{supp}{(f)} \text{ is bounded}}$$

¿No son estos dos juegos el mismo? ¿Qué me falta?

Answer 1

Tenga en cuenta que $C_c \subset C_0$, $C_c \neq C_0$. Por ejemplo, $f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}$ pertenece a $C_0$ pero no $C_c$.

Qué parece estar asumiendo es que $\lim_{|x|\to\infty}f(x) = 0$ implica que hay un $N > 0$ $f(x) = 0$ % todos $|x| > N$. Esto no es cierto, como se demuestra en el ejemplo anterior. Es decir, una función puede limitar a cero $\pm\infty$ sin ser nunca cero.

Answer 2

El primero contiene funciones que son distinto de cero en la línea verdadera entera. El otro no.