Mostrando $A(x) = \int_{0}^{x}f(t)dt$ es convexo si $f(x)$ está aumentando (método alternativo)

Question

Esta es la misma pregunta que el publicado aquí: Math.StackExchange.com pero he utilizado un enfoque diferente para demostrar la pregunta y esta pregunta es con respecto a ese enfoque.

Después me doy cuenta de que he cometido un error en la comprensión de la definición de convexo criterios, este es mi segundo intento:

Debemos mostrarles a $\forall [a,b] \subseteq [0,x]$ $\alpha \in [0,1]$ que $$A(\alpha b + (1-\alpha ) a) \le \alpha A(b) + (1-\alpha) A(a)$$

Lado izquierdo de inecuaciones es $$\int_{0}^{\alpha b + (1-\alpha )} f(t) dt = \int_{0}^{\alpha b} f(t) dt + \int_{\alpha b }^{ (1-\alpha )} f(t)dt\\ = \color{blue} {\alpha \int_{0}^{b}f(\alpha t) dt} + \color{verde}{(1-\alpha) \int_{\tfrac{\alpha b}{1-\alpha}}^{a} f((1-\alpha)t) dt}$$

Lado derecho de inecuaciones es

$$\color{blue}{\alpha\int_{0}^{b} f(t) dt}+ \color{green}{(1-\alpha)\int_{0}^{a} f(t) dt}$$

Aunque claramente tenemos piezas azules de satisfacciones $$\alpha \int_{0}^{b}f(\alpha t) dt \lt\alpha\int_{0}^{b} f(t) dt $$

No puedo ver cómo se muestran los mismos para el verde

$$(1-\alpha) \int_{\tfrac{\alpha b}{1-\alpha}}^{a} f((1-\alpha)t) dt \lt_{\color{red}{??}} (1-\alpha)\int_{0}^{a} f(t) dt$$

Cualquier sugerencia para redimir a este método es bienvenida!

Answer 1

La estimación de $f(\alpha t)\le f(t)$ $[0,b]$ es demasiado impreciso, se pierde una gran cantidad de información acerca de la función que es creciente en el intervalo $[\alpha b\ b]$.

Una manera de demostrar que la desigualdad original de la convexidad (si desea utilizar la definición y no se quieren transmitir en otros convexidad criterios, como la derivada es creciente etc) es la siguiente. Voy a soltar el integrando como es el mismo para todas las integrales siguientes. Así que vamos a $0\le a<c=\lambda b+(1-\lambda)a<b\le 1$. Las siguientes desigualdades son equivalentes. $$ \int_0^c\le\lambda\int_0^b+(1-\lambda)\int_0^a\ffi \int_a^c\le\lambda\int_a^b=\lambda\int_a^c+\lambda\int_c^b\iff (1-\lambda)\int_a^c\le\lambda\int_c^b $$ Ahora defina $\Delta=b-a$ y dividir ambos lados por $\lambda(1-\lambda)\Delta$ para obtener otra equivalente a la desigualdad $$ \frac{1}{\lambda\Delta}\int_a^cf(t)\,dt\le\frac{1}{(1-\lambda)\Delta}\int_c^bf(t)\,dt. $$ Tenga en cuenta que$\lambda\Delta=c-a$$(1-\lambda)\Delta=b-c$, es decir, la última desigualdad es simplemente $$ \text{el valor de la media de $f$$[a,c]$ } \le\text{ el valor de la media de $f$$[c,b]$}. $$ Es cierto para aumentar el $f$.

Answer 2

Si $g:[a,b]\to \mathbb R $ es continuo, $g$ es convexa en a $[a,b]$ fib $g$ es punto medio convexo en $[a,b].$ (El último, de la propiedad de medios de $g( (1/2)x+ (1/2)y)\le (1/2)g(x)+ (1/2)g(y)$ todos los $x,y\in [a,b].$) voy a usar esto para dar una prueba simple de la convexidad en su problema.

Supongamos $f$ es el aumento en $[0,b]$ y definen $A(x)$ respectivamente. Tenga en cuenta que $A(x)$ es continua en a $[0,b].$ Deje $0\le x <y\le b.$ Deje $m$ ser el punto medio de la $[x,y],$ es decir, $m= (1/2)x+ (1/2)y.$

$$\int_0^m f = \int_0^x f + \int_x^m f = \int_0^y f - \int_m^y f.$$

Así

$$\tag 1 \int_0^m f = (1/2)\left (\int_0^x f + \int_0^y f + \int_x^m f - \int_m^y f\right ).$$

Pero tenga en cuenta que debido a $[x,m],[m,y]$ tienen la misma longitud, tenemos $\int_x^m f \le \int_m^y f.$ Aquí hemos utilizado el hecho de que $f$ es cada vez mayor. De ello se desprende que el lado derecho de la $(1)$$\le (1/2)\int_0^x f + (1/2)\int_0^y f.$, por Lo que nos han mostrado $A(m) \le (1/2)A(x) + (1/2)A(y).$ $A$ es punto medio convexa, por lo tanto convexo.

Answer 3

$\def\d{\mathrm{d}}\def\peq{\mathrel{\phantom{=}}{}}$ La última desigualdad no es necesariamente cierto.

Supongamos que la desigualdad pasada sostiene cualquier aumento $f$ y $0\leqslant a \leqslant b \leqslant x_0$, $0 \leqslant α \leqslant 1$. Para cualquier aumento y % limitada $f$dado, supongamos que $|f(x)| \leqslant M$ y definir$ $ f (x) = f (x) - x_0 de 4 M, \leqslant \quad \forall 0 x \leqslant x_0 aumenta $$ y $F$ $[0, x_0]$. Pero $\dfrac{1}{2} \leqslant α