Cuando existe una estructura de anillo en un grupo abelian $(A,+)$?

Question

Dado un grupo abelian $(A,+)$, ¿cuáles son las condiciones en $A$ que asegurarse de que existe o no es un unitario de la estructura del anillo de $(A,+,*)$? Es decir, asociativa bilineal operación $* : A^2 \to A$ con una identidad $1_A \in A$.

Una posible pregunta de seguimiento sería condiciones para un trivial rng estructura en $A$ (de hecho, la multiplicación de $ab = 0$ siempre da un generador de números aleatorios de la estructura).

Por ejemplo, si $A$ es finitely generado, entonces, por el teorema de estructura de en finitos tipo abelian grupos, $A \simeq \mathbb Z^r \times \prod \mathbb Z/p_i^{a_i} \mathbb Z$ y tiene un producto de estructura de anillo.

Por otro lado, $\mathbb Q / \mathbb Z$ no: si lo hiciera, la unidad $u=[p/q]$ finito de orden $q$, e $\forall x \in \mathbb Q / \mathbb Z, qx = q(u*x) = (qu)*x = 0$, pero $q(1/2q) = 1/2 \neq 0$. De manera más general, por esta pregunta, si cada elemento tiene orden finito, pero las órdenes son no acotados, entonces no hay ninguna estructura de anillo en $A$.

Es esta condición también necesaria? Me duda es: tengo problemas para la concepción de una estructura de anillo en $(\mathbb R / \mathbb Z, +) = (S^1, \cdot)$, pero no cada elemento tiene orden finito en $S^1$. El argumento también es totalmente incapaz de generadores de números aleatorios.

(Tenga en cuenta que mi pregunta es diferente de la que he enlazado: este simplemente le pidió un contraejemplo, estoy pidiendo condiciones generales)

Answer 1

En un anillo unitario de tener siempre el concepto fundamental de "características". Si usted tiene una torsión grupo Abelian $G$, y quieres un anillo unitario de la estructura en $G$, a continuación, en primer lugar usted necesita para elegir una unidad. Si $g\in G$ es una unidad, entonces usted está obligado a tener un anillo de carácter $n=|g\mathbb Z|$. Esto indica que $nh=0$ todos los $h\in G$, por lo que si $G$ no tiene un número finito de exponente, usted no puede tener una estructura de anillo en $G$.

Si quieres una fuente para muchos de torsión libre de contraejemplos se puede proceder como sigue. Usted puede utilizar un famoso teorema de Saharon Sela para encontrar, por cualquier infinita cardenal $\alpha$, $2^\alpha$ muchos no isomorfos de torsión libre abelian grupos de cardinalidad $\alpha$ y cuya endomorfismo anillo es un sub-anillo de los racionales. En particular, dado un $G$, $End(G)$ es contable. Observe que, si usted tiene una estructura de anillo en $G$, entonces no es una inmersión $G\to End(G)$ envío de $g$ a la izquierda-la multiplicación por $g$.

Permítanme añadir que estas cuestiones están muy bien discutido en el Capítulo XVII del segundo volumen de Infinito Abelian Grupos por Laszlo Fuchs (el título del capítulo es "Aditivo grupos de los anillos").

EDIT: me resumir algunos de los temas tratados por Fuchs. Permítanme comenzar citando a su final "nota".

El problema de la definición de estructuras de anillo en un aditivo grupo fue criado por Beaumont, quien considera anillos en directo sumas de grupos cíclicos. Casi al mismo tiempo, Szele investigado cero anillos, y Ridei y Szele y Beaumont y Zuckerman describe los anillos en los subgrupos de los racionales. Un sistemático estudio de la construcción de anillos en un grupo apareció en Fuchs, donde el papel fundamental de la básica subgrupo señaló. Unos resultados más satisfactorios se han obtenido de torsión libre de los grupos de rango finito por Bedumont y Pierce [...].

Sería un grave error, esperar demasiado de un estudio de las estructuras aditivas de los anillos, tan lejos como anillo teoría se refiere. En muchos casos las estructuras aditivas son demasiado trivial [por ejemplo, torsiones divisible o de una escuela primaria $p$-grupo] para dar cualquier información real acerca de la estructura de anillo. Esto se aplica especialmente a las torsiones caso, puta una estrecha interrelación entre el aditivo y el multiplicativo de las estructuras que se puede esperar sólo si el aditivo grupo es más complicado. Uno debe, sin embargo, recuerde que hay preguntas interesantes, incluso si el aditivo grupo es demasiado fácil de describir; por ejemplo, no sabemos de ningún innumerables Noetherian anillo cuyo aditivo grupo es libre.

Permítanme decir que tu pregunta está abierta en general, pero hay respuestas para clases particulares de grupos, tales como las torsiones de los grupos de rango uno, donde uno no sólo puede decir cuando una estructura de anillo que existe, pero también codificar de alguna forma toda la posible estructura de anillo, incluso los no-asociativas o no unitarios. El hecho es que una de las herramientas para el estudio de estructuras de anillo en un grupo de $G$ es el grupo de multiplicaciones en $G$, $Mult(G)$. Este es un grupo en general sólo si incluye no asociativo multiplicaciones.

El capítulo se inicia el estudio de las propiedades generales de $Mult(G)$ (por ejemplo, uno puede mostrar que $Mult(G)\cong Hom(G\otimes G,G)$). Después de que se pasa de las condiciones generales en la torsión y torsión libre de grupos (especialmente divisible, o finita, rango, o incluso de rango 1 para obtener los mejores resultados). Observe que el principal foco de atención no es exactamente tu pregunta, pero es aun más delicado de la materia, es decir, dado un grupo de $G$ tratar de clasificar todos los anillos que han $G$ como grupo subyacente. De continuar con el capítulo más particular, las preguntas son investigados. Por ejemplo, uno puede dar una forma precisa para que el aditivo grupos de Artinian anillos (ver Teorema 122.4). También hay resultados precisos para regular los anillos y el capítulo termina (como todos los capítulos de este libro) formular algunas preguntas interesantes sobre la materia.

Puede suceder que este libro clásico no es hasta a la fecha, se remonta a 1973, pero, en mi experiencia, usted puede estar bastante seguro de que, si de algo relacionado con Abelian grupos fue conocida antes de 1973, a continuación, es en este libro. Yo estaba buscando más información reciente acerca de su pregunta algo así como 3 años atrás, pero, que yo recuerde, no pude encontrar nada relevante después de Fuchs libro.