Haz de línea correspondiente a la Segre incrustar

Question

Estoy tratando de entender el teorema que caracteriza a morfismos para proyectiva del espacio como equivalente a los datos de una línea de paquete junto con global de las secciones de la generación de la misma.

Traté de encontrar la línea correspondiente paquete asociado con el Serge incrustación, digamos que de $\mathbb{P}^{1} \times \mathbb{P}^{1}$$\mathbb{P}^3$. Pero trabajando directamente con las definiciones Hartshorne da parece poco práctico. No sé cómo calcular explícitamente el global de las secciones de la retirada de la torsión de gavilla en $\mathbb{P}^3$. ¿Hay alguna técnica para calcular el retroceso de la línea de paquete, o más en general, de cualquier cuasi coherente módulo en la práctica?

Answer 1

El mundial de las secciones de la torsión de gavilla en $\mathbb{P}^3$ son sólo el de coordinar las funciones en $\mathbb{P}^3$. La ambigüedad en el isomorfismo de una fibra de la línea de paquete con $\mathbb{C}$ es lo que la hace una de coordenadas proyectivas en lugar de una afín a coordinar. Por lo tanto, si usted sabe que su integración en términos de coordenadas, usted sabe que la línea de paquete, o al menos que sepa lo que sus secciones aspecto.

El Segre incorporación está dado por tomar un punto de $([x_0,x_1],[y_0,y_1])$$[x_0y_0,x_0y_1,x_1y_0,x_1y_1]$. Por lo tanto, el $x_0y_0$ es la restricción de una sección global de la torsión gavilla de a $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ menor a la de serge incorporación, la cual, en términos de la línea de paquetes es una sección global de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1) \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)$ ( técnicamente, el retroceso de $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1)$ en las dos proyecciones. )

También, técnicamente sólo he descrito en términos de las secciones, pero toda la descripción es natural sobre cualquier abiertos, por lo que muestra un isomorfismo de los haces (y por lo tanto la línea de paquetes). He tratado de describir como uno podría pensar sobre ella en lugar de todos los detalles más finos. Espero que esto ayude.