¿Lo que ' s el papel del producto del tensor en la mecánica cuántica?

Question

Hay varias maneras de definir el producto del tensor. Así que hay múltiples maneras de mirarlo. He visto que se utilice como un objeto para calcular la métrica y he visto también en las teorías de módulo de anillo.

Estoy estudiando un poco de quantum comptuing y he visto qubits se representan como productos del tensor. No entiendo por qué.

¿Parece que el tensor productos hacen un buen marco para la mecánica cuántica, pero para representar lo que?

Answer 1

Me gusta Nielsen y Chuang la aproximación a esta cuestión (de "Computación Cuántica y la Información Cuántica"). En última instancia, la conexión entre la mecánica cuántica y de álgebra lineal requiere de un conjunto de "postulados". Los postulados elegido por Nielson y Chuang que sus preocupaciones son como sigue:

Postulado 1: Asociado a cualquier sistema físico aislado es un complejo espacio vectorial con producto interior (es decir, un espacio de Hilbert), conocido como el espacio de estado del sistema. El sistema está completamente descrito por su estado de vector, que es un vector unitario en el sistema del espacio de estado.

Supongo que este es un hecho que ya estás más o menos cómodo con el. Intuitivamente, me pongo a pensar de la siguiente manera: el número de dimensiones en un espacio de estado se corresponde con el número de "mutuamente excluyentes" de las configuraciones. Por ejemplo, un fotón propogating en una frecuencia fija a lo largo de un eje fijo tiene una de dos dimensiones de espacio de estado de polarizaciones. La luz que está polarizada verticalmente tiene un $0$ por ciento de posibilidades de ser polarizada horizontalmente y viceversa. Cada una de las posibles, la polarización puede ser caracterizado como una compleja combinación lineal de estos dos estados.

Con respecto a los sistemas compuestos, tenemos los siguientes.

Postulado 4: El espacio de estado de un sistema físico compuesto es el producto tensor del estado de los espacios de la componente física de los sistemas. Por otra parte, si tenemos sistemas numeradas $1$ a través de $n$, y el número de sistema de $i$ es preparado en el estado $|\psi_i\rangle$, en el conjunto del estado en el sistema total es $|\psi_1\rangle ⊗ |\psi_2\rangle ⊗ · · · ⊗ |\psi_n\rangle$.

Voy a parafrasear a su heurística de la justificación, centrándose en el caso de los dos sistemas. Supongamos que el sistema de $\mathcal A$ tiene un espacio de estado se extendió por base $\psi_1,\dots,\psi_n$ y que el sistema de $\mathcal B$ tiene un espacio de estado se extendió por $\phi_1,\dots,\phi_m$. Podemos tomar esto significa que el sistema de $\mathcal A$ $n$ mutuamente excluyentes y configuraciones de sistema de $\mathcal B$ $m$ dichas configuraciones.

Si $\mathcal A$ es preparado en el estado de $\psi_i$ $\mathcal B$ es preparado en el estado de $\phi_j$, entonces deberíamos esperar que hay un $0$ de probabilidad de que el sistema combinado se medirá en estado $\phi_p,\psi_q$ siempre $i \neq p$ o $j \neq q$. Con esta intuición, podemos deducir que nuestro sistema compuesto (si es que puede ser descrito con algún espacio de estado) tiene un espacio de estado con base ortonormales $$\{|\psi_i \phi_j \rangle : 1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m\}$$ donde el estado $|\psi_i\phi_j \rangle$ caracteriza el sistema compuesto $\mathcal{AB}$ en el que el sistema de $\mathcal A$ es preparado en el estado de $\psi_i$ y sistema de $\mathcal B$ es preparado en el estado de $\phi_j$.

A grandes rasgos, esta construcción (lo que permite "superposiciones") conduce a la caracterización del sistema combinado con el nuevo espacio de Hilbert $H_{\mathcal A} \otimes H_{\mathcal B}$.