Soluciones de $10^{x} -5^{x}-2^{x}=y^{2}-1$.

Question

¿Cómo puedo mostrar que la única solución integral positiva a la ecuación $$10^{x} -5^{x}-2^{x}=y^{2}-1$$ son $(x,y)=(1,2)$?

He intentado muchas cosas. Parece bastante difícil y ni siquiera estoy seguro de por dónde empezar.

Answer 1

Aquí discuto un caso en particular.

$10^x-2^x-5^x=y^2-1$

Si $p= x+1$ es primo, podemos escribir:

$10^{p-1} 1 \mod p$

$2^{p-1} 1 \mod p$

$5^{p-1} 1 \mod p$

$10^{p-1}-2^{p-1}-5^{p-1} -1 \mod p (p-1)\mod p$

$10^{p-1}-2^{p-1}-5^{p-1}= t . p -1= y^2-1 y=t.p$

Esto solo es posible si $t=p$ $y=±p$. Por ejemplo $x=1t= p=2 y=±2$

En este caso, la pregunta se reduce a:

$10^x-2^x-5^x=(x+1)^2-1$

o

$10^{p-1}-2^{p-1}-5^{p-1}=p^2-1$

que son ecuaciones de 'una sola incógnita'.

También podemos escribir:

$10^{p-1}-2^{p-1}-5^{p-1}= t . p + p -1= y^2-1 y=t(p+1)=t(x+2)$

Dado que (p+1) no es primo si t completa los factores de (p+1) para un cuadrado, entonces tenemos una solución entera para y. No se sabe además de 2 si hay otros primos que darían soluciones enteras para y.