¿Podemos concluir que dos de las variables deben ser$0$?

Question

Suponiendo $$a^2+b^2+c^2=1$$ and $$a^3+b^3+c^3=1$$ for real numbers $a,b,c$, can we conclude that two of the numbers $a,b,c$ must be $0$ ?

Me pregunto si mathworld el resultado de que sólo los triples $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ , $(0,0,1)$ satisfacen la ecuación dada sistema , es realmente cierto.

Mirando a $(a+b+c)^3$$(a+b+c)^2$ , el uso de \begin{align} &(a+b+c)^3= (a+b+c)^2(a+b+c)=\\ &(1+2(ab+ac+bc))(a+b+c)= \\ &2(a+b)(a+c)(b+c)+a+b+c+2abc \end{align} y la eliminación de $(a+b)(a+c)(b+c)$,$S:=a+b+c$ , finalmente conseguí $$(S-1)^2(S+2)=6abc$$

Supongo que esto no es suficiente para mostrar el resultado anterior (si es verdad).

Esta pregunta está inspirada en un ejercicio para determinar los posibles valores de $a+b+c$ suponiendo que las ecuaciones anteriores, por lo que esta pregunta podría ser un duplicado, pero no estoy seguro de si realmente es.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, suponga que$a\not=0$ y$b\not=0$ son tales que$a^2+b^2+c^2=1$ y$a^3+b^3+c^3=1$. Luego$|a|<1$,$|b|<1$ y$|c|<1$ (de lo contrario$a^2+b^2+c^2>1$). Por lo tanto$$1=|a^3+b^3+c^3|\leq |a|^3+|b|^3+|c|^3<|a|^2+|b|^2+|c|^2=1$ $ Contradiction.

Answer 2

Como$|a|,|b|,|c|\in[0,1]$ (porque$a^2+b^2+c^2=1$), tenemos $$ a ^ 2 (1-a) + b ^ 2 (1-b) + c ^ 2 (1-c) = 0 $$ LHS es una suma de términos no negativos; para ser cero, todos los términos deben ser cero. Esto significa que $$ a ^ 2 (1-a) = b ^ 2 (1-b) = c ^ 2 (1-c) = 0 $$ y por lo tanto$|a|,|b|,|c|\in\{0,1\}$. Junto con$a^2+b^2+c^2=1$, obtenemos que exactamente uno de ellos es$1$, y dos deben ser cero: esto implica el resultado.