Valor mínimo

Question

<blockquote> <p>Si $a^2 + b^2= 1 $ y $u$ son el valor mínimo de $\dfrac{b+1}{a+b-2}$, entonces encontrar el valor de $u^2$.</p> </blockquote> <p><strong>Intento:</strong></p> <p>Luego probé de esta manera: que $a= bk$ % real $k$.</p> <p>Entonces conseguí $f(b)$ en términos de b y k que es mínima cuando $b = \dfrac{2-k}{2(k+1)}$... y luego otra vez me puse una ecuación en $k$ que no simplifica.</p> <p>Por favor, sugerir una manera eficiente de resolverlo.</p>

Answer 1

Tratar con $b=\cos 2x$ y $a= \sin 2x$.

\begin{eqnarray}{b+1\over a+b-2}&=& {2\cos^2 x\over -\cos^2x+2\sin x \cos x -3\sin^2x}\ &=& {2\over -1+2\tan x -3\tan^2x}\ &=& {2\over -1+2t -3t^2} \end{eqnarray} donde $t= \tan x $. Por lo tanto la expresión tendrá un mínimo cuando $g(t)=-3t^2+2t-1$ de la función cuadrática tendrá un máximo. Tenga en cuenta que $g(t)

Así $$ u= {2\over -{2\over 3}} = -3\implies ....$ $

Answer 2

Tenga en cuenta que $$u=\frac{b+1}{\sqrt{1-b^2}+b-2}$$ so $$\frac{du}{db}=\frac{1\big(\sqrt{1-b^2}+b-2\big)-(b+1)\left(-\frac{2b}{\sqrt{1-b^2}}+1\right)}{\big(\sqrt{1-b^2}+b-2\big)^2}$$ and setting to zero gives $$-3\sqrt{1-b^2}+b+1=0\implies 1-b^2=\frac{b^2+2b+1}9\implies 5b^2+b-4=0$$ and we see that $b=4/5,-1$ son raíces.

Comprobación de derivados del segundo, tenemos que el $4/5$ es un mínimo.

Por lo tanto, $$u^2=\left(\frac{\frac45+1}{\frac35+\frac45-2}\right)^2=9.$ $

---

Nota que la negativa de la raíz ($-3/5$) también es posible, pero que produce un valor más bajo de $u^2$ desde $$\bigg|-\frac35+\frac45-2\bigg|>\bigg|\frac35+\frac45-2\bigg|$ $

Answer 3

Que $\displaystyle u=\frac{b+1}{a+b-2}\Rightarrow ua+ub-2u=b+1$

Así $ua+(u-1)b=1+2u$

Ahora usando la desigualdad de Cauchy Schwarz

$\displaystyle \bigg[u^2+(u-1)^2\bigg]\cdot \bigg[a^2+b^2\bigg]\geq \bigg[ua+(u-1)b\bigg]^2$

Así $\displaystyle 2u^2-2u+1\geq (1+2u)^2\Rightarrow 2u^2+6u\leq 0$

Así $\displaystyle 2u(u+3)\leq 0\Rightarrow -3 \leq u\leq 0$

Así $\displaystyle u^2 \geq 9.$

Answer 4

Un poco de geometría;

1)$x^2+y^2 = 1$, un círculo, centro de $(0,0)$, $r=1$.

2) un Mínimo de $C$:

$C:=\dfrac{y+1}{x+y-2}$

(Nota: $x+y-2 \not =0$).

$C(x+y-2) = y+1$, o

$Cx +y(C-1) -(2C+1)= 0$, una línea recta.

La línea toca o cruza el círculo 1)

si la distancia de la línea de origen $\le 1$ (radius).

La distancia de a $(0,0):$

$d =\dfrac{|2C+1|}{\sqrt{C^2+(C-1)^2}} \le 1.$

$(2C+1)^2 \le C^2 + (C-1)^2;$

$4C^2 +4C +1 \le 2C^2 -2C+1;$

$2C(C+3) \le 0.$

Por lo tanto: $-3 \le C \le 0$.

Mínimo en $C =-3$.

Usa: Línea a punto fórmula de la distancia: http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html

Answer 5

Para una variación, utilizando el método de Lagrange: f(a,b,t)=\frac{b+1}{a+b-2}-t(a^2+b^2-1) $$ $$ entonces\begin{align} \frac{\partial f}{\partial a}&=-\frac{b+1}{(a+b-2)^2}-2at \[6px] \frac{\partial f}{\partial b}&=\frac{a-3}{(a+b-2)^2}-2bt \end {Alinee el} si estas igualan a $0$, entonces $$-\frac {b +1} {un (+ b-2) ^ 2} = \frac {a-3} {b (a + b-2) ^ 2} $$ así que $-b^2-b=a^2-3a$, que da $3a-b=1$ $a^2+b^2=1$ deriva $a=0$o $a=3/5$.

Los puntos críticos son así $(0,-1)$ y $(3/5,4/5)$. Tenemos $$ f(0,-1,0) = \frac {2} {3}, \quad f (3/5,4/5, 0) =-3, \quad $$ esto también muestra el máximo.