¿Limitar la distancia de una persecución de dos puntos?

Question

Gil Kalai entrada en el blog https://gilkalai.wordpress.com/2018/06/29/test-your-intuition-35-what-is-the-limiting-distance/ plantea un enigma sobre una persecución de dos puntos.

Punto de Un persecuciones punto B en la unidad de la velocidad. Punto B jefes derecho en la unidad de la velocidad. En $t = 0$, $A(0) = (0,1)$ y $B(0) = (0,0)$.

Pregunta: ¿cuál es la distancia límite $||B(t) - A(t)||$ $t$ va al infinito?

Answer 1

El problema se vuelve más manejable si usted transformar a un sistema de coordenadas donde $\mathbf B$ está en reposo. A continuación, $\mathbf A$ tiene velocidad

$$ \pmatrix{\dot x\\\dot y}=-\pmatrix{\frac xr+1\\\frac yr}\;. $$

Ahora transformación a coordenadas polares $r=\sqrt{x^2+y^2}$$\phi=\arctan\left(\frac yx\right)$, con

$$ \dot r=\frac{x\dot x}r+\frac{y\dot y}r=1-\frac xr=-1-\cos\phi $$

y

$$ \dot\phi=\frac{\frac{\dot y}x-\frac{\dot xy}{y^2}}{1+\left(\frac yx\right)^2}=\frac{x\dot y-y\dot x}{x^2+y^2}=\frac y{r^2}=\frac{\sin\phi}r\;. $$

Así tenemos

$$ \frac{\mathrm dr}{\mathrm d\phi}=\frac{\dot r}{\dot\phi}=-r\cdot\frac{1+\cos\phi}{\sin\phi}=-r\frac{\cos\frac\phi2}{\sin\frac\phi2}\;. $$

Dividiendo por $r$ y la integración de ambos lados de los rendimientos

$$ \log r=C-2\log\sin\frac\phi2\;. $$

El valor inicial es $r\left(\frac\pi2\right)=1$, que los rendimientos de $C=-\log 2$, por lo que

$$ r=\frac1{2\sin^2\frac\phi2}\;. $$

En el límite de $t\to\infty$ tenemos $\phi\to\pi$, y por lo tanto $r\to\frac12$.

Answer 2

Hay un desajuste de notaciones entre el texto y la redacción en https://gilkalai.wordpress.com/2018/06/29/test-your-intuition-35-what-is-the-limiting-distance/ . Me voy a referir a las anotaciones desde el enlace en lugar de las anotaciones en la pregunta anterior debido a que el texto del enlace es más clara.

La siguiente figura muestra el resultado de la simulación numérica.

El resultado no es $1$ pero $\frac12$. Prueba de ello es gracias a la solución analítica.

Las coordenadas de los puntos en movimiento son B$(x,y)$$(t,0)$.

Desde el absoluto de la velocidad de B es $=1$ en la dirección de $\overrightarrow{BA}$ : $$\begin{cases} \frac{dx}{dt}=\frac{t-x}{\sqrt{(t-x)^2+y^2}} \\ \frac{dy}{dt}=\frac{-y}{\sqrt{(t-x)^2+y^2}} \end{casos}$$ $\frac{dy}{dx}=\frac{-y}{t-x}$

Cambio de variable : $x=u+t$

$\frac{dx}{dt}=\frac{du}{dt}+1=\frac{-u}{\sqrt{u^2+y^2}}$

$\frac{du}{dt}=-\frac{u}{\sqrt{u^2+y^2}}-1$

$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dt}=\frac{dy}{du}\left(-\frac{u}{\sqrt{u^2+y^2}}-1\right)=\frac{-y}{\sqrt{u^2+y^2}}$

$$y\frac{du}{dy}=\sqrt{u^2+y^2}+u$$ Este es un puño orden homogénea de la educación a distancia fácil de resolver. La solución general es : $$u=y\sinh\left(c+\ln(y)\right)$$ Las condiciones iniciales $t=0$ , $x=0$ , $y=1$ , $u=x-t=0$ lo que implica $c=0$ así : $$u=y\sinh\left(\ln(y)\right)=y\frac{y-\frac{1}{y}}{2}=\frac{y^2-1}{2}$$ $$t-x=-u=\frac{1-y^2}{2}$$ Al $x\to\infty \quad;\quad y\to 0\quad;\quad (t-x)\to\frac12$. $$|AB[=\sqrt{(x-t)^2+y^2}\to\frac12$$