Evaluar integral definida de$p(x)$

Question

Permita que$p(x)$ sea un polinomio de quinto grado tal que$p(x)+1$ sea divisible por$(x-1)^3$ y$p(x)-1 $ sea divisible por$(x+1)^3 $. Luego, encuentre el valor de la integral definida$$\int _{-10}^{10}p(x)dx$ $

Intento:

$p(x)-1 = (x+1)^3 Q(x)$

$p(x)+1 = (x-1)^3 H(x)$

Donde$Q(x)$ y$H(x)$ son cuadráticos desconocidos.

Pero no hay suficiente información para encontrar$Q$ y$H$ por lo que no puedo continuar.

Por favor, brinde solo una guía, quiero resolverlo yo mismo.

Answer 1

Tenga en cuenta que si$(x-1)^3$ divide$p(x)+1$, entonces$(x-1)^2$ divide$p^{\prime}(x)$

Similar,

si$(x+1)^3$ divide$p(x)-1$, entonces$(x-1)^2$ divide$p^{\prime}(x)$

Dado que el grado es$5$, cuando lo diferenciamos se convierte en$4$.

Por lo tanto,$p^{\prime}(x)=t(x+1)^2(x-1)^2=t(x^4-2x^2+1)$ donde$t\in\mathbb{R}$

Entonces$$p(x)=\dfrac t5x^5-\dfrac{2t}{3}x^3+tx+b\mbox{ $ \ {$ for $ b \ in \ mathbb {R}$\}$$}$ $

Como$(x+1)^3$ divide, tenemos$$p(-1)=-\frac a5+\dfrac{2a}{3}-a+b=1......(1)$ $

Como$(x-1)^3$ divide, tenemos$$p(1)=\dfrac a5-\dfrac{2a}{3}+a+b=-1.......(2)$ $

Ahora agregue$(1)+(2)$ da$b=1$ y$a=-\dfrac{15}{8}$

Por lo tanto, $p(x)=-\dfrac38x^5+\dfrac54x^3-\dfrac{15}{8}x$

Ahora$$\int_{-10}^{10}p(x)dx=\int_{-10}^{10}\left(-\dfrac38x^5+\dfrac54x^3-\dfrac{15}{8}x\right)dx=0$ $

Answer 2

Gracias a @KeyFlex respuesta, si es de dos $(x-1)^2$y $(x+1)^2$ brecha $p^{\prime}(x)$, luego desde $p'$ grado $4$ $$p'(x)=k(x^2-1)^2$ $ para un real $k$, por lo tanto es $p'$ y $p$ es raro que concluye %#% $ #%