Demuéstralo: $ \sum_ {k<n, (k,n)=1} k= \frac {1}{2}n \varphi (n)$

Question

Demuéstralo: $ \sum_ {k<n, (k,n)=1}k = \frac {1}{2}n \varphi (n)$

He tenido una faringitis estreptocócica y me he perdido la conferencia sobre las propiedades de la función de Euler. Cualquier ayuda para resolver esto es apreciada. Gracias.

Answer 1

Como $(r,n)=(n-r,n)$

Si $(r,n)=1, (n-r,n)=1$

Así que podemos encontrar $n-r$ para cada uno $r$ con $(r,n)=1$

Si $S= \sum_ {1 \le r <n ,(r,n)=1 }r,$

$2S= \sum_ {1 \le r <n ,(r,n)=1 }{r+(n-r)}=n \phi (n)$ como hay $ \phi (n)$ números $<n$ y co-prime a $n$

Answer 2

Si $(k,n)=1,(n-k,k)=1$ también. Y hay $1/2φ(n)$ pares de estas parejas.