Comprender el teorema Fundamental de polinomios simétricos en el contexto de la prueba de $\pi$ trascendental

Question

Estoy estudiando actualmente la prueba de la trascendencia de $\pi$. Hay un montón de pruebas dispersas a través de la web (aquí, aquí, y aquí, por nombrar algunos); algunos se derivan de la Lindemann-Weierstrass Teorema, mientras que algunos se dan de manera independiente. Pero todos ellos ocupan esencialmente el mismo enfoque, tal vez con algunos cambios de redacción.

Mi pregunta no está en la prueba como un todo, pero en un segmento en particular. Parecería que un elemento clave aquí es un (doble) aplicación del Teorema Fundamental de los Polinomios Simétricos. He tratado de entender este concepto mediante la info de Wikipedia, pero yo no puedo envolver mi cabeza alrededor de ella, o cómo exactamente funciona en la prueba.

Estaba esperando que alguien me pudiera dar una se pueden agarrar explicación de este teorema, y tal vez una aclaración en cuanto a cómo se aplica a la prueba. También sería de gran ayuda si alguien me pudiera dar una aplicación de este teorema para un ejemplo sencillo (es decir, su uso fuera del contexto de la prueba) lo que puedo conseguir un hormigón. Gracias.

Answer 1

Brevemente (y quizás algo obviamente), simétrica polinomios son útiles porque son exactamente aquellos que son invariantes bajo todas las permutaciones de las variables. Hay un montón de situaciones donde se considere lo que sucede si se cambia alrededor de los roles de la $x_i$.

El Teorema Fundamental nos dice que hay una conveniente base para polinomios simétricos, es decir, la "primaria polinomios simétricos" (estos son los $x_1 + \dotsb + x_n,\, \sum_{i<j}x_ix_j,\, $etc.)

Ejemplo: Supongamos $p(z) = a_0 + a_1z + \dotsb + z^n\in \mathbb{F}[x]$ es un polinomio sobre los números complejos (o, si se quiere más generalidad, a través de una algebraicamente cerrado de campo). Podemos escribir $p(z) = \prod_{i}(z-\alpha_i)$ $\alpha_i$ de las raíces. Entonces yo reclamo de los coeficientes $a_i$ son de la escuela primaria simétrica polinomios en las raíces $\alpha_j$. Por ejemplo, $a_0 = \prod_i \alpha_ i$$a_{n-1} = \alpha _1 + \dotsb + \alpha_n$. Ahora, el teorema fundamental nos dice que si tenemos cualquier polinomio simétrico en el $\alpha_i$ (por ejemplo, el discriminante), entonces esto puede ser escrito en términos de los coeficientes $a_i$.

Es el álgebra abstracta (anillos, isomorphisms, etc.) lo que es confuso?

Lo siento, mi respuesta es no más en profundidad, espero que esto ayude.

Answer 2

Hay un artículo titulado "Las potencias de Pi están irracional." Da un desarrollo de la trascendencia de pi mediante pruebas de irracionalidad más fácil. Sólo google el título y se sube.