Usando el teorema de Cayley para encontrar un subgrupo isomorfo.

Question

Encuentre un subgrupo de$S_4$ isomorfo a$\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$.

Esto es lo que tengo hasta ahora: tenemos que encontrar un subgrupo de$S_4$ que sea isomorfo a$\{0, 1 \} \times \{0, 1 \}$. Ahora, $\{0, 1 \} \times \{0, 1 \} = \{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1) \}$. Los pares$(0,0)$ y$(1,1)$ nos dicen que el mapa de identidad,$e$, está presente. Los pares$(0,1)$ y$(1,0)$ nos dicen que el mapa de transposición,$\tau$ está presente. Entonces, un subgrupo de$S_4$ isomorfo a$\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ debe ser$\{e, \tau \}$.

Comentario: Esto parecía demasiado fácil y estoy pensando que debe haber más. ¡Gracias por tu ayuda!

Answer 1

El número$4$ es lo suficientemente grande como para elegir dos transposiciones disjuntas. Diga $$\ sigma = (1,2) \ qquad \ tau = (3,4).$$ Ahora verifique que el subgrupo generado por$\sigma$ y$\tau$ haga lo que desee. De manera más general, verá por qué$S_{2n}$ contiene un subgrupo isomorfo a$\mathbb{Z}_2^n$.

Answer 2

Si desea utilizar Cayley (o, por medio de la asignación), tomar el de la representación de la siguiente manera. (Yo soy realmente va a través de la prueba de Cayley del teorema.)

Indicar los elementos $(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$ $1, 2, 3, 4$ en orden. Ahora mira en la acción de cada uno de ellos por la suma de $(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$.

Claramente $(0,0)$ actúa como la identidad de $e$.

Ahora considere el $(0,1)$. Tenemos $$(0,0)+ (0,1) =(0,1),\quad (0,1)+ (0,1) =(0,0),\quad (1,0)+ (0,1) =(1,1),\quad (1,1)+ (0,1) =(1,0),$$ así que esta es la permutación $(12)(34)$$(0,0) \leftrightarrow (0,1)$$(1,0) \leftrightarrow (1,1)$.

Ahora considere el $(1,0)$. Tenemos $$(0,0)+ (1,0) =(1,0),\quad (0,1)+ (1,0) =(1,1),\quad (1,0)+ (1,0) =(0,0),\quad (1,1)+ (1,0) =(0,1),$$ así que esta es la permutación $(13)(24)$$(0,0) \leftrightarrow (1,0)$$(0,1) \leftrightarrow (1,1)$.

Ahora considere el $(1,1)$. Tenemos $$(0,0)+ (1,1) =(1,1),\quad (0,1)+ (1,1) =(1,0),\quad (1,0)+ (1,1) =(0,1),\quad (1,1)+ (1,1) =(0,0),$$ así que esta es la permutación $(14)(23)$$(0,0) \leftrightarrow (1,1)$$(0,1) \leftrightarrow (1,0)$.

Por lo que el subgrupo de obtener es $$\{ e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)\}.$$ Note that it is a regular subgroup of $S_4$, como siempre cuando se toma el ordinario de la representación.

Answer 3

¿Por qué no pruebas otro apporach?

En$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$, todos los elementos son de orden$2$. En$S_4$, solo hay$9$ elementos de orden$2$. No es difícil probar algunos de los elementos y obtener un subgrupo que es isomorfo a$\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$.

Un ejemplo podría ser$\{e, (12), (34), (12)(34)\}$ y hay mucho más.