¿Esto no es una modalidad?

Question

He estado rozando Aluffi del Capítulo 0 de los últimos días para volver a donde fui una vez y recordar todo, y me picó la curiosidad sobre algo en la Sección I. 3.

En las páginas 22-23, introduce una categoría definida de la siguiente manera:

Deje $\textsf{C}$ ser una categoría. Definir una nueva categoría de $\textsf{C}_A$ como sigue

• $\text{Obj}(\textsf{C}_A)$ son morfismos $f\in \text{Hom}_\textsf{C}(Z,A)$, para cualquier $Z \in \text{Obj}(\textsf{C})$.

• Morfismos $f_1\to f_2$ son conmutativas diagramas correspondientes a los morfismos $\sigma: Z_1 \to Z_2$ tal que $f_1 = f_2 \sigma$.

Él, a continuación, en su mayoría verifica esta categoría (dejando a algunos de los ejercicios para el lector). Cuando la introducción de esta categoría, dijo que la manera morfismos son definidas aquí son la mayoría de "selección natural". Tengo curiosidad tal vez, entonces, si esto iba a funcionar como una categoría así:

• $\text{Obj}(\textsf{C}^*_A)$ son morfismos $f\in \text{Hom}_\textsf{C}(Z,A)$, para cualquier $Z \in \text{Obj}(\textsf{C})$.

• Morfismos $f_1\to f_2$ corresponden a morfismos $\sigma: A \to A$ (por lo que el diagrama se ve como una "U")

Realmente no tengo un lápiz y papel para que me meticulosamente mirar en esto, pero parece que esta satisifies casi todas las propiedades de una categoría:

1. Cada objeto tiene una identidad, es decir,$1_A$.
2. Usted puede componer morfismos, como se acaba de identidades y $\textsf{C}$ es una categoría. (También, no de la composición de ser conmutativa aquí?)
3. Identidades respecto de la composición.
4. La composición es asociativa, de la siguiente manera de $\textsf{C}$ siendo una categoría.

Lo que me hace creer que no se trata de una categoría a pesar de que se falla este quinto requisito:

$$\text{Hom}_{\textsf{C}^*_A}(A,B)\cap \text{Hom}_{\textsf{C}^*_A}(C,D)= \emptyset$$ a menos $A=C$$B=D$.

Ya que en esta categoría esencialmente cada conjunto de morfismos entre los objetos es el conjunto $\text{End}_\textsf{C}(A)$. Así que, ¿significa esto $\textsf{C}^*_A$ no forman una categoría?

Answer 1

Hay algo que no está escrito, pero implícito en su definición: en orden para $\sigma f_1$ $f_2$ a ser iguales, deben tener el mismo dominio, es decir, morfismos $f_1\to f_2$ sólo existen en su (posible) categoría al $f_1$ $f_2$ son tanto los mapas de $Z\to A$ para el mismo $Z$.

Es decir, un elemento de $\mathrm{Hom}_{\mathsf{C}^*_A}(f_1,f_2)$ es un conmutativa triángulo compuesto de los mapas $f_1: Z\to A$, $f_2: Z\to A$ y $\sigma: A\to A$ (no sé cómo dibujar diagramas conmutativos aquí, así que usted puede hacerlo usted mismo!). En particular, los elementos de $\mathrm{Hom}_{\mathsf{C}^*_A}(f_1,f_2)$ "recordar" su dominio y codominio $f_1$$f_2$, por definición: estos elementos no son sólo los mapas de $\sigma$, pero los mapas $\sigma$ junto con el dominio $f_1$ y codominio $f_2$. El dominio y codominio son incorporados en estos conmutativa triángulos.

En la práctica, la gente se suele escribir estos mapas como $\sigma\in \mathrm{Hom}_{\mathsf{C}^*_A}(f_1,f_2)$, pero, estrictamente hablando, que no es del todo cierto. Una mejor notación, la captura de toda la información en la conmutativa triángulo, sería $(\sigma, f_1, f_2)\in\mathrm{Hom}_{\mathsf{C}^*_A}(f_1,f_2)$.

Larga historia corta: si $\mathrm{Hom}_{\mathsf{C}^*_A}(f_1,f_2)$ $\mathrm{Hom}_{\mathsf{C}^*_A}(g_1,g_2)$ intersect - decir, el elemento $(\sigma,f_1,f_2)\in \mathrm{Hom}_{\mathsf{C}^*_A}(f_1,f_2)$ también puede ser escrito como $(\tau,g_1,g_2)\in \mathrm{Hom}_{\mathsf{C}^*_A}(g_1,g_2)$ - a continuación, toda la propiedad conmutativa triángulo de este elemento representa debe ser el mismo. Es decir, $\sigma = \tau, f_1 = g_1, f_2 = g_2$.

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Para abordar algo que usted dijo acerca de "connaturalidad": no hay nada malo con su categoría. Yo no lo llamaría "antinatural". Es sólo que no se adueñan de todos los que, a menudo, en las matemáticas. Aluffi la categoría de $\mathsf{C}_A$ hace surgir un montón, aunque es incluso tiene su propio nombre especial, el de la rebanada de la categoría. Es una manera particular de ver cómo los objetos en $\mathsf{C}$ comportarse "en relación a" $A$. En este caso, la noción de "relativa a $A$" es una parte de la estructura de un objeto $Z\to A$, y si quieres estudiar objetos con una cierta permanente relativa a $A$, entonces es natural preguntar por el morfismos para conservar esa estructura. Creo que este fue el sentido en el que Aluffi utilizado la palabra.

Answer 2

Necesidad de que el hom-conjuntos disjuntos es irrelevante estado técnico; categoría teoría es esencialmente el mismo, el mismo si o no usted esta exigencia. Que requieren permite que algunos ligeramente más sencillo aproximaciones al tema, pero hace que otros enfoques ligeramente menos conveniente.

Si requieren hom-de los conjuntos disjuntos, hay una sistemática para garantizar siempre que a la hora de construir una categoría: simplemente define $\hom(A,B)$ a ser el conjunto de todas las tuplas de la forma $(A,f,B)$ donde $f$ es el tipo de objeto que desee considerar como una de morfismos de$A$$B$.

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En la categoría de definir (la mejora de su definición como se ha indicado anteriormente, si es necesario), cada objeto de $\textsf{C}^*_A$ va a ser isomorfo a cualquier otro objeto. De hecho, no es una elección canónica de isomorfismo: el correspondiente a la identidad de mapa de $1_A : A \to A$.

Por eso, $\textsf{C}^*_A$ equivale a la subcategoría de $\textsf{C}$ en que consiste el objeto de $A$ (y sus endomorphisms), lo que significa que no es particularmente interesante de la construcción.