¿Cómo resolver esta ecuaciones de diferencia particular?

Question

Encuentra una función polinomial real $P_n\left(x\right)$ de dos variable, cuando $n$ es una variable discreta y $x$ variable continua

donde $P_0\left(x\right)=1$

y satisface las siguientes relaciones de recurrencia:

$$P_{n+1}\left(x\right)=\left(x+1\right)\cdot P_n\left(x\right)+x\cdot\frac{d}{dx}\left(P_n\left(x\right)\right).$$

¿Cómo podría encontrar la solución explícita $P_n\left(x\right)$ para esta expresión?

¿Y qué nombre recibe este tipo de ecuaciones?

Answer 1

Escribir el polinomio como: $$P_n(x)=c_{n,0}x^0+c_{n,1}x^1+\cdots+c_{n,n}x^n,$$
aplicar la recurrencia, y obtendrá una relación entre los coeficientes.

Que es $$ \eqalign{ & \sum\limits_{0\, \le \;k\,\left( { \le \,n + 1} \right)} {c_{\,n + 1,\,k} x^{\,k} } = \left( {x + 1} \right)\sum\limits_{0\, \le \;k\,\left( { \le \,n} \right)} {c_{\,n,\,k} x^{\,k} } + x{d \over {dx}}\sum\limits_{0\, \le \;k\,\left( { \le \,n} \right)} {c_{\,n,\,k} x^{\,k} } = \cr & = \sum\limits_{0\, \le \;k\,\left( { \le \,n} \right)} {c_{\,n,\,k} x^{\,k} } + \sum\limits_{0\, \le \;k\,\left( { \le \,n} \right)} {c_{\,n,\,k} x^{\,k + 1} } + \sum\limits_{0\, \le \;k\,\left( { \le \,n} \right)} {k\,c_{\,n,\,k} x^{\,k} } = \cr & = \sum\limits_{0\, \le \;k\,\left( { \le \,n} \right)} {c_{\,n,\,k} x^{\,k} } + \sum\limits_{1\, \le \;k\,\left( { \le \,n} \right)} {c_{\,n,\,k - 1} x^{\,k} } + \sum\limits_{0\, \le \;k\,\left( { \le \,n} \right)} {k\,c_{\,n,\,k} x^{\,k} } \cr} $$ o $$ c_{\,n + 1,\,k} = \left( {1 + k} \right)c_{\,n,\,k} + c_{\,n,\,k - 1} $$ con el entendimiento de que cuando el índice es negativo el coeficiente es nulo.

Desde la recursividad para Stirling N. de 2ª clase es $$ \left\{ \matriz{ n \cr m \cr} \right\} = m\left\{ \matriz{ n - 1 \cr m \cr} \right\} + \left\{ \matriz{ n - 1 \cr m - 1 \cr} \right\} $$ entonces usted consigue $$ c_{\,n,\,k} = \left\{ \matriz{ n + 1 \cr k + 1 \cr} \right\} $$ y su polinomios están relacionados con la Touchard Polinomios $$ P_ {\n} (x) = {1 \over x}T_{\,n + 1} (x) $$

Answer 2

Los coeficientes de los polinomios son los números de Stirling del segundo tipo. La OEIS triangular secuencia A008277 tiene un montón de información acerca de la secuencia y los polinomios son casi Touchard polinomios, con la excepción de $\;x\;p_n(x) = T_{n+1}(x).\;$ La ecuación tiene donde cada una de las $\;p_{n+1}(x)\;$ está determinado por la anterior $\;p_n(x)\;$ generalmente se llama una diferencia-la ecuación diferencial.

Tenga en cuenta que la ecuación de recurrencia puede ser traducido directamente en una relación de recurrencia para el polinomio de coeficientes de la que es habitual que uno de los números de Stirling del segundo tipo. Esto es debido a $\;(x+1)\;s(n,k)\;x^k = s(n,k)\;x^k + s(n,k)\;x^{k+1},\;\;$ $\;x \frac{d}{dx} s(n,k)\;x^k = k\; s(n,k)\;x^k.$

Answer 3

Esto es realmente un comentario donde se nos muestran lo que parecen los primeros polinomios pocos.

Vamos a empezar con $P_0(x)=1$ y ver lo que podemos ver:

$$P_{1}\left(x\right)=\left(x+1\right)\cdot P_0\left(x\right)+x\cdot\frac{d}{dx}\left(P_0\left(x\right)\right)=(x+1)\cdot 1+x\cdot0=x+1$$

Coeficientes es: $[1,1]$

$$P_{2}\left(x\right)=\left(x+1\right)\cdot P_1\left(x\right)+x\cdot\frac{d}{dx}\left(P_1\left(x\right)\right)=(x+1)^2+x=x^2+3x+1$$

Coeficientes es: $[1,3,1]$

$P_{3}\left(x\right)$ $=\left(x+1\right) P_2\left(x\right)+x\frac{d}{dx}\left(P_2\left(x\right)\right)=(x+1)^3+x(x+1)+2x^2+3x=x^3+6x^2+7x+1 $

Coeficientes que $[1,6,7,1]$

Comparar con esta tabla: números de Stirling de segunda especie.