Hoy en día en una geometría diferencial conferencia, el profesor que poner una pregunta para pensar:
Dado un regular de la curva (función derivable $\alpha:I\to\Bbb R^3$ en un intervalo abierto con $\alpha'$ distinto de cero en todas partes) y un punto de $t\in I$, podemos considerar los dos puntos $\alpha(t+h),\alpha(t-k)$ cerca de $\alpha(t)$ donde $h,k\gt0$. Esperemos que al $h,k$ son lo suficientemente pequeños, los dos puntos son distintos. Entonces podemos definir una línea recta $L$ a través de $\alpha(t+h),\alpha(t-k)$, llame a la línea de $L(h,k)$. Luego se pregunta si $$\lim\limits_{(h,k)\to(0^+,0^+)}L(h,k)$$ existe, y si existe, ¿qué sería.
Hasta donde yo sé, la definición de los límites de requerir la noción de la topología. ¿Cómo podemos definir una buena topología en el conjunto de todas las líneas rectas (necesario ser infinito en ambos lados) en $\Bbb R^3$? He oído hablar de Grassmannian, que parametrises todos los subespacios vectoriales de una dimensión fija, pero esto no es totalmente la dirección de mi pregunta, porque yo no requieren de las líneas que pasan por un punto específico.
Tengo alguna idea en la definición de una buena topología. Primero de una unidad fija de vectores $v\in\Bbb R^3$, para cada punto de $x\in\Bbb R^3$, definir la línea de $L(x,v):=\{x+tv\in\Bbb R^3:t\in\Bbb R\}$. Entonces la familia de todas las líneas $L(x,v)$ $v$ fijo puede ser parametrizada por $\Bbb R^2$. Denotar esta familia de líneas $S(v)$. Tenga en cuenta que $S(v)=S(-v)$. El conjunto de todas las líneas rectas en $\Bbb R^3$ es distinto de la unión de todas las $S(v)$, $v$ parametrizada por $\Bbb RP^2$ porque de $S(v)=S(-v)$.
Puede que el conjunto de todas las líneas rectas ser visto como un avión paquete de más de $\Bbb RP^2$? Y explícitamente cómo es el avión paquete definido? Es simplemente la tangente paquete? Por favor, asumir que sé muy poco acerca de suave colectores.
Edit: debo decir algunas propiedades deseables de la topología de forma explícita. Para el conjunto de $S(v)$ como un subespacio del espacio de todas las líneas, espero que $S(v)$ sería homeomórficos a $\Bbb R^2$. Por ejemplo, si $v=(0,0,1)=e_3$, espero que el mapa de $P\to S(e_3),(x,y,0)\mapsto L((x,y,0),e_3)$ es un homeomorphism, donde $P=\{(x,y,0)\in\Bbb R^3:x,y\in\Bbb R\}$. Para cada punto de $x\in\Bbb R^3$, Definir $T(x)$ como el conjunto de todas las líneas a través de las $x$. Espero que el subespacio $T(x)$ es homeomórficos a $T(0)$ ($0$ es el vector cero), es decir, el Grassmannian/$\Bbb RP^2$. Ya que no hay ninguna línea es especial (no incluso el origen es especial), también espero que todo el espacio de todas las líneas es homogénea en este sentido, que por cada dos "puntos" $x,y$ en este espacio, hay una auto-homeomorphism el envío de $x$$y$.
Edit 2: No es una pregunta relacionada con un problema similar en $\Bbb R^2$. Ver Una topología en un conjunto de líneas?.
Por cierto, si hay alguna, me gustaría ver referencia en problemas similares con las soluciones, es decir, cómo definir natural topologías en el set de $k$-dimensiones afín subespacios en $\Bbb R^n$, y en una familia de curvas en $\Bbb R^n$, y en una familia de superficies en $\Bbb R^n$, etc.
