Probabilidad de aceptar la hipótesis nula dado el valor p

Question

Hola, estoy luchando por responder a la parte b y c de esta pregunta:

Para la parte (a) esto es sólo en relación con el nivel de significación utilizado para la prueba de hipótesis

para la parte (b) el error de tipo 1 denota el rechazo de una hipótesis nula correcta cuando x(bar) = 1 esto tiene una probabilidad de p^3 siendo H0 correcta cuando p=1 por lo que la probabilidad de que esto no se cumpla debería ser (1-p^3)

para la parte (c) mi única idea actual es sustituir p=0.9 en p^3 o sumar todos los valores de 0 a 2/3 pero estoy muy confundido

Se agradece cualquier idea y gracias de antemano

Answer 1

Las tres partes piden, respectivamente,

(a) encontrar un conjunto $R$ tal que $\Pr[\bar X \in R \mid p = 1]$ se minimiza.

(b) $\Pr[\bar X \ne 1 \mid p = 1]$

(c) $\Pr[\bar X = 1 \mid p = 0.9].$

Es importante entender que la distribución de $\bar X$ es degenerado bajo $H_0 : p = 1$ porque en ese caso $(\bar X \mid H_0) = 1$ casi seguro. Entonces, la primera parte se puede responder con casi cualquier opción de $R$ ya que, por ejemplo $R = \{0\}$ da $$\Pr[\bar X = 0 \mid p = 1] = 0,$$ y la elección $R = \{0, 1/3, 2/3\}$ también da $$\Pr[\bar X \in \{0, 1/3, 2/3\} \mid p = 1] = 0.$$ $R$ la "región de rechazo" de la prueba, no está determinada de forma única, ya que hay más de un conjunto para el que la prueba nunca rechaza la hipótesis nula cuando es verdadera.

De hecho, se puede argumentar que para cualquier prueba de hipótesis, puede minimizar el error de tipo I eligiendo una región de rechazo que equivalga al conjunto vacío; es decir, puede asegurarse de que su error de tipo I sea $0$ si solo dices "nunca rechaces $H_0$ ." Pero esto no es una prueba interesante por razones obvias.

Lo anterior también responde a la parte (b) de su pregunta.

La última parte de la pregunta es un cálculo sencillo: establecer $p = 0.9$ en la tabla anterior, y leer la entrada correspondiente al resultado $\bar X = 1$ .

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Desde el punto de vista pedagógico, creo que esta pregunta está mal redactada. En primer lugar, utiliza la frase común pero engañosa "aceptar la hipótesis nula", que ofusca la naturaleza asimétrica de las hipótesis nula y alternativa. En segundo lugar, la respuesta a la primera parte no es única, como he explicado, pero la redacción sugiere que lo es. Además, hay un problema filosófico con la parte (a), como también he explicado.

Answer 2

para la parte (b) El error de tipo 1 denota el rechazo de una hipótesis nula correcta cuando x(bar) = 1

No, la parte (b) dice explícitamente que la regla es: "aceptar la hipótesis nula si $\bar x = 1,$ de lo contrario se rechaza". Así que rechazarán la hipótesis nula sólo si $\bar x \neq 1.$

El error de tipo 1 es simplemente cuando rechazamos una hipótesis nula correcta. No hay ninguna condición adicional "si". Lo que hay que averiguar es qué tiene que ocurrir para que el investigador rechace una hipótesis nula correcta. Para empezar, esto sólo puede ocurrir si la hipótesis nula es correcta. En este experimento, eso significa $p = 1.$ En segundo lugar, para que se produzca un error de tipo 1, el investigador tiene que rechazar la hipótesis nula (es decir, rechazar la posibilidad de que $p = 1$ ) a pesar de el hecho de que la hipótesis nula sea correcta (es decir, a pesar de que sea cierto que $p = 1$ ). ¿Qué evento haría que el investigador rechazara la hipótesis nula, y dado que $p = 1,$ ¿cuál es la probabilidad de que se produzca ese hecho?

Un razonamiento similar se aplica en la parte (c), excepto que ahora estamos considerando el caso en que $p = 0.9$ y estamos pidiendo la probabilidad de aceptar la hipótesis nula en lugar de la probabilidad de rechazarla.

Answer 3

Cuidado con la parte (b), quieres $\alpha = P(\text{Type I Error}) = P(\text{reject true null}) = P(\bar{X} \neq 1 | p = 1) = 0$ según las probabilidades de los valores de $\bar{X}$ . Lo que tiene sentido porque si $p = 1$ entonces con probabilidad uno, $\bar{X} = 1$ según la distribución dada.

La parte (c) le pide que calcule la probabilidad de un error de tipo II, o $\beta$ :

La regla de decisión en la parte (b) es rechazar el nulo ( $H_0: p = 1$ ) si $\bar{x} \neq 1$ . Un error de tipo II se produce si no rechazamos (o aceptamos) un nulo que es falso. Se puede pensar en $\beta$ en función de $p$ y como una probabilidad condicional dependiente del valor verdadero de $p$ :

$$\beta(p) = P(\text{Type II Error}|p) = P(\text{fail to reject false null} | p) = P(\bar{X} = 1 |p) = p^3$$

Tenemos que calcular $\beta(.9)$

$$\beta(.9) = .9^3 = .729$$

En el contexto de este problema también tiene sentido tener un valor tan alto de $\beta(.9)$ porque si $p = .9$ y está comprobando si $p = 1$ entonces las probabilidades de que capte que el nulo es falso son pequeñas en función de los posibles valores de $\bar{X}$ . Pero si está comprobando si $p = .1$ entonces la probabilidad de un error de tipo II disminuye mucho.