Verificación de la familia exponencial

Question

¿Por qué lo siguiente $$f(x|\theta) = \theta^{-1} \exp(1-(x/\theta)), \ \ 0 < \theta < x <\infty$$ ¿no es una familia exponencial? Sabemos que $$f(x| \theta) = h(x)c(\theta) \exp(w(\theta)t(x))$$ donde $h(x) = e, \ c(\theta) = \theta^{-1}, w(\theta) = \theta^{-1}$ y $t(x) = -x$ .

Answer 1

Depende de tu definición de familia exponencial, pero el problema es que el soporte de la distribución depende de $\theta$ . No se puede imponer que $f(x|\theta)=0$ cuando $x\le \theta$ con funciones que dependen únicamente de $x$ o $\theta$ y no ambos.

Answer 2

Una versión más formal del argumento de deinst: Supongamos que $f(x|\theta)=h(x)c(\theta)\exp(w(\theta) t(x))$ . Para cualquier $\theta$ y $x<\theta$ tenemos $$f(x|\theta)=h(x)c(\theta)\exp(w(\theta) t(x))=0,$$ pero por otro lado $f(x|\theta)>0$ para todos $x>\theta$ . Esto implica $c(\theta)>0$ y $h(x)=0$ para todos $x<\theta$ . Desde $\theta$ era arbitraria, obtenemos $h(x)\equiv 0$ una contradicción.