Teorema: Si $A$ es un dominio integral noetheriano, las dos propiedades siguientes son equivalentes. 1) $A_{\mathfrak p}$ es un DVR para cada ideal primo $\mathfrak p \neq 0$ ; 2) $A$ es integralmente cerrado y de dimensión $\leq 1$ .
Aquí está la prueba de que 1) implica 2).
Si $\mathfrak p \subset \mathfrak p^{'}$ entonces $A_{\mathfrak p^{'}}$ contiene el ideal primo $\mathfrak p^{'} A_{\mathfrak p^{'}}$ que implica $\mathfrak p = 0$ o $\mathfrak p = \mathfrak p^{'}$ . Por otro lado, si $a$ es integral sobre $A$ es a fortiori integral sobre cada $A_{\mathfrak p}$ y pertenece a todos los $A_{\mathfrak p}$ . Si uno escribe $a$ en la forma $a = b/c$ y $c \neq 0$ y si $\mathfrak A$ es el ideal de los $x \in A$ tal que $xb \subset cA$ El ideal es $\mathfrak A$ no está contenido en ningún ideal primo $\mathfrak p$ De ahí que $\mathfrak A = A$ y $a \in A$ .
¿Puede alguien explicarme la segunda parte de la prueba? H $a \in A$ ? ¿Cuál es el objetivo de $\mathfrak A$ ?
