$\mathbb{C}[x,y]/(x^2+y^2+1)$ es un dominio integral.

Question

Me quedé en la siguiente pregunta.

Demostrar que $ \mathbb{C}[x,y]/\langle x^2+y^2+1 \rangle $ es una parte integral de dominio, utilizando la siguiente:

Deje $\mathbb{F}$ ser un campo, $c \in \mathbb{F} $. A continuación, $ \mathbb{F}[s,t]/\langle st + c \rangle $ es una parte integral de dominio si y sólo si $c \neq 0$.

He comprobado que $ \mathbb{C}[x,y]/\langle x^2+y^2+1 \rangle $ es isomorfo a $ \mathbb{C}\left[x,\sqrt{-1-x^2} \right]$ el uso de la homomorphism:

$$ \alpha \in \mathbb{C} \ \ \mapsto \alpha \in \mathbb{C} $$

$$ x \ \ \mapsto x$$

$$ y \ \ \mapsto -1-x^2.$$

Ahora lo que yo pienso es que debo prueba de que $ \mathbb{C}[x,\sqrt{-1-x^2} ]$ es isomorfo a algunos $ \mathbb{C}[s,t]/\langle st + c \rangle $, la definición de $s$ $x$ $t$ $\sqrt{-1-x^2} $ pero no puedo encontrar una manera de hacer eso.

Estoy en el camino correcto o mi forma de prueba que está mal?

Gracias de antemano.

Answer 1

Sugerencia: Trate de $s=x+iy, t=x-iy$. ${}$

Answer 2

Si no era obligatorio seguir la pista, podría también decir que el $x^2+y^2+1$ es irreducible en a $\mathbb{C}(x)[y]$, y es por $x^2+1$ no es un cuadrado. Por lo tanto, usted tiene que $\mathbb{C}(x)[y]/(x^2+y^2+1)$ es un campo. Ahora, usted sabe que $\mathbb{C}[x][y]/(x^2+y^2+1)$ es un servicio gratuito de $\mathbb{C}[x]$-módulo con base $\{1,y\}$, por lo tanto, en particular, en un plano. Ahora, considere la inyección de $\mathbb{C}[x]\subset\mathbb{C}(x)$ y tensor de la es$\mathbb{C}[x]$$\mathbb{C}[x][y]/(x^2+y^2+1)$. Por lo tanto, usted todavía obtener la inyección de $\mathbb{C}[x,y]/(x^2+y^2+1)\subset\mathbb{C}(x)[y]/(x^2+y^2+1)$, pero el lado derecho es un campo, de ahí que el lado izquierdo tiene que ser un dominio. Creo que esta prueba, incluso si más conceptual, es más algebraico, es decir, como un ejemplo, que puede seguir las mismas líneas para mostrar el resultado de un campo genérico $\mathbb{K}$ en lugar de $\mathbb{C}$, en menos de característica distinta de 2.