Encuentra la integralidad $ \int\frac { \arcsin (x)}{x^{2}}dt$

Question

Encuentra la integralidad $$ \int\frac { \arcsin (x)}{x^{2}}dx$$ lo que he hecho: $$ \int\frac { \arcsin (x)}{x^{2}}dx=- \int\arcsin (x)d( \frac {1}{x})=- \frac { \arcsin (x)}{x}+ \int\frac {dx}{x \sqrt {1-x^{2}}}$$ Me quedé atascado con eso

Answer 1

Realizar la integración por partes para conseguir que $ \displaystyle \int \frac { \arcsin (x)}{x^2} dx$ = $ \displaystyle \frac {- \arcsin (x)}{x} + \int \frac {1}{x \sqrt {1 -x^2}}dx$ .

Para resolver esta última integral, dejemos $x = \sin ( \theta )$ . Luego $dx = \cos ( \theta )d \theta ,$ así que la integral se convierte en $ \displaystyle \int\frac { \cos ( \theta )}{ \sin ( \theta ) \cos ( \theta )}d \theta = \int \csc ( \theta ) d \theta = - \ln | \csc ( \theta ) + \cot ( \theta )| + C.$

Ahora, ya que tenemos $x = \sin ( \theta )$ Entonces $ \frac {1}{x} = \csc ( \theta )$ y $ \cot ( \theta ) = \frac { \sqrt {1 - x^2}}{x}$ .

Poniendo todo junto, tenemos $ \displaystyle \int \frac { \arcsin (x)}{x^2} dx = \displaystyle \frac {- \arcsin (x)}{x} - \ln | \frac {1+ \sqrt {1 - x^2}}{x}| + C. $

Answer 2

Pista. Para el término más correcto, intenta $x= \sin \theta. $

Answer 3

Pista: Usar $t= \sqrt {1-x^2}$ , $x= \sqrt {1-t^2}$ , $dx=- \frac {t}{ \sqrt {1-t^2}}dx$ así que:

$$ \int\frac {1}{x \sqrt {1-x^2}}dx=- \int\frac {1}{1-t^2}dt$$

Luego la expansión parcial de la fracción: $- \frac {1}{1-t^2}= \frac {1}{2} \left ( \frac {1}{t-1}- \frac {1}{t+1} \right )$

Answer 4

$$ \int\frac { \arcsin (x)}{x^{2}}dx=- \frac { \arcsin (x)}{x}+ \int\frac {dx}{x \sqrt {1-x^{2}}}$$

Deje que $$u= \sqrt {1-x^2}$$ Por lo tanto $$ \frac {du}{dx}= \frac {-x}{ \sqrt {1-x^2}}$$

$$ \int \frac {dx}{x \sqrt {1-x^2}}=- \int \frac {du}{x^2}=- \int\frac {du}{1-u^2}=- \tanh ^{-1}(u)+C=- \tanh ^{-1} \left ( \sqrt {1-x^2} \right )+C$$

Por lo tanto \begin {alinear} \int\frac { \arcsin (x)}{x^{2}}dx &=- \frac { \arcsin (x)}{x}- \tanh ^{-1} \left ( \sqrt {1-x^2} \right )+C \\ &=- \frac { \arcsin (x)}{x}- \frac12\left ( \ln\left (1+ \sqrt {1-x^2} \right )+ \ln\left (1- \sqrt {1-x^2} \right ) \right )+C \end {alinear}