Convexidad de una función dada

Question

¿Es la siguiente función convexa o cóncava?

$$f(\mathbf{x}) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{xi^2}{\left(\frac{1}{N}\sum{i=1}^{N}x_i\right)^2}},$$

$\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T, x_i \ge 0 \, \forall i $

Lo que sé: $g(y_i) = \sqrt{1+y_i^2}$ es convexo. Aquí, $y_i=\frac{xi}{\frac{1}{N}\sum{i=1}^Nx_i}$ y f(.) se obtiene mediante transformaciones lineales de g(.). Por lo tanto f(.) es convexo en $y_i$.

Pero, ¿f(.) $x$? (Tenga en cuenta que $y_i$ son no lineales en $x_i$)

Answer 1

Reclamación-1) Una función de $f(x),x\in \mathbb{R}^n$ se define como la suma finita con un resultado positivo de pesos $\sum_i \alpha_i f_i(x)$ no será cóncava/convexa si cada $f_i(x)$ es no convexo/cóncavo en un punto en el dominio.

Reclamación-2) que h sea una concavidad de la función de algunas de dominio apropiado.
$\qquad \qquad $ , $\quad$ G(x) es cóncava $\implies$ $h\circ g(x)$ es cóncava.
$\qquad \quad $

Reclamación-3) Una función de $f(x), x\in \mathbb{R}^n$ es convexo, entonces f es convexa en cada sub-dominio. Específicamente, $f$ es convexa en cada elemento del vector de argumento $x$.

Todas las tres afirmaciones se puede ver claramente a partir de la definición básica de la convexidad es decir, $$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2) \le \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2), x_1,x_2 \in \mathbb{R}^n. $$

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Definir $f = \frac{1}{N}\sum_i h\circ g_i$,$\hspace{3mm}$ con $h:R\to R,\ \ h(x)\triangleq \sqrt{x},\\ g_i:R^n \to R, \ \ g_i(x)\triangleq 1+ \frac{x_i^2}{\left(\frac{1}{N}\sum_{j=1}^{N}x_j\right)^2}$.

Definir $D_i \triangleq \{ x\in \mathbb{R}^n : x_i \leq \frac{1}{2}\sum_{j\neq i} x_j \}$ $E_i \triangleq \{ x\in \mathbb{R}^n : x_i \leq -\sum_{j\neq i} x_j \}$..

Por lo tanto, si podemos probar que cada una de las $h\circ g_i$ es convexa en un subdominio y cóncava en otro común subdominio, es suficiente para mostrar que $f$ no es convexo/cóncavo.

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Considere la posibilidad de que el candidato de la función $p:R\to R$ como: $$ p(x) \triangleq \frac{x^2}{(x+a)^2},\\ \implies p''(x) = \frac{2a^2-4ax}{(x+a)^4}, $$

$p(.)$ es cóncava en a $[a/2,\infty)$ y es convexa en a $(-\infty,a/2]$. en otras palabras, $p$ no es ni convexa ni cóncava de la función.

Con el análisis anterior, podemos concluir que $h\circ g_i (x)$ es convexa en coordinar $x_i$ por cada $x\in D_i$ y cóncava en la misma coordinar al resto de todos los puntos de $D_i^c$.

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Consideremos ahora otro candidato función de $q:R\to R$ como: $$ q(x) \triangleq \sqrt{1+ \frac{b}{(x+a)^2}}\\ \implies q''(x) = -3b(x+a) [b+(x+a)^2]^{-\frac{5}{2}}$$

Podemos concluir que el $q(.)$ es convexa en a $(-\infty,-a]$ y cóncava en $(-a,\infty)$ o, simplemente, $q$ no es ni convexa ni cóncava de la función.

A partir de este análisis, podemos concluir que $h\circ g_i$ es convexa en coordinar $x_j, j\neq i$, para cada $x\in E_i$ y cóncava en la misma coordenada en el resto de todos los puntos de $E_i^c$

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Considere la posibilidad de coordinar $x_1$.

$h\circ g_1$ es convexa en coordinar $x_1,\ \ \forall x\in D_1$ y cóncava en coordinar $x_1,\ \ \forall x\in D_1^c$.

Del mismo modo $h\circ g_2, h\circ g_3,\ldots$ son convexas en coordinar $x_1,\ \ \forall x\in E_2, E_3,\ldots $ y son cóncavas en coordinar $x_1,\ \ \forall x\in E_2^c, E_3^c,\ldots $ respectivamente.

Ahora si $x\in D_1\cap E_2\cap E_3\ldots \cap E_n$, $f$ es convexa en coordinar $x_1$.

Del mismo modo, si $x\in D_1^c\cap E_2^c\cap E_3^c\ldots \cap E_n^c$, $f$ es cóncava en coordinar $x_1$.

Por lo tanto, $f$ no es ni convexa ni cóncava en uno de sus coordenadas $x_1$, lo cual es suficiente para decir que f no es ni convexa ni cóncava, si podemos probar que el anterior intersecciones no vacías. [A alguien que por favor se complementan. $0\in abovetwo$, trivialmente]