Noether ' s teorema en teoría del campo

Question

Esta pregunta está relacionada con el Teorema de Noether en general, sino también en la aplicación a un ejemplo. El ejemplo es:

Encontrar la conserva actual para el Lagrangiano $$L=\bar{\psi}(\frac{i}{2}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\psi.$$

Es mi primer paso para encontrar una transformación que deja la acción invariante? Pero, ¿no hay más de una simetría significado de esta pregunta tiene varias respuestas?

De Peskin y Schroeder, que dice que tenemos que encontrar

$$\partial_{\mu}j^{\mu}(x)=0 \; \text{ for } \; j^{\mu}(x)=\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\psi)}\Delta\psi-J^{\mu}.$$

Así que creo que estoy en lo correcto en decir esto $J^{\mu}$ es dependiente de la transformación que estamos haciendo? por ejemplo, si sólo se trata de $\psi \rightarrow \psi +a$$J^{\mu}=0$.

El Lagrangiano de los cambios en la transformación del campo como

$$L \rightarrow L+\alpha \partial_{\mu}J^{\mu}.$$

Pero esto no me ayuda porque enchufar $\psi \rightarrow \psi +\alpha \Delta \psi$ (arbitrario transformación del campo $\psi$) en el Lagrangiano en la parte superior me da (después de no más de una línea)

$$L \rightarrow L+\alpha \bar{\psi}(\frac{i}{2}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m)\Delta \psi$$

y ¿cómo podemos usar esto para encontrar los $J^{\mu}$?

(Algo que he asumido a lo largo de todo esto es que $\psi$ $\bar{\psi}$ son tratados completamente separados y aquí sólo estamos considerando $\psi$. Espero que no me equivoco al hacer esto).

Realmente no he pin señaló una pregunta aquí como mi entendimiento se descompone en diversos puntos, y cuando creo que por fin lo entiendo, me dan una nueva Lagrange y atascado de nuevo. Debe haber algún procedimiento general?

Answer 1

En primer lugar, usted pregunta

no hay más que una simetría significado de esta pregunta tiene varias respuestas?

Sí! En general, una teoría dada puede tener todo tipo de simetrías, y cada una de estas simetrías conduce a su propia cantidad conservada a través del teorema de Noether.

En cuanto a lo que está pasando con el teorema de Noether y aplicarlo en general, me gustaría recomendamos que lea mi respuesta aquí:

Noether la expresión actual en Peskin y Schroeder

Si usted todavía tiene preguntas después de que, a continuación, hágamelo saber en los comentarios a esta respuesta, y estaré encantado de añadir un anexo para abordar el resto de las confusiones/preguntas.