Número de Bernoulli de Euler Ayuda para la identidad

Question

Mi profesor y yo derivamos el $n$ número de Bernoulli como la recursión $$B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n+1}{k}B_k.$$ Más tarde, en un artículo que estaba leyendo, hay una identidad similar atribuida a Euler, donde $$-(n+1)B_n=\sum_{k=2}^{n-2}\binom{n}{k}B_kB_{n-k}$$

Ciertamente, reindexar la primera ecuación ayudaría a conseguir $$-(n-1)B_n=\sum_{k=0}^{n-2}\binom{n}{k}B_k$$

Pero ahora el problema radica en la multiplicación de cada sumando por el $(n-k)$ número de Bernoulli y esto, junto con el índice que comienza en 2 da la identidad. No consigo ver las matemáticas en esto. El documento que estoy leyendo dice que $b(x)=\frac{x}{e^x-1}=\sum_{k=0}^\infty\frac{B_nx^n}{n!}$ da el resultado, pero no veo cómo. ¿Hay alguna prueba en línea que pueda leer para ayudar a aclarar?

EDIT: El documento que estoy leyendo en realidad afirma que la identidad de Euler es una consecuencia de $$b(x)^2=(1-x)b(x)-xb'(x)$$ Aquí es donde realmente veo la confusión. He demostrado la primera identidad de forma independiente utilizando las ideas proporcionadas en la respuesta de abajo, pero al no estar familiarizado con las series de Laurent estoy teniendo problemas. Espero que, con la nueva identidad de abajo que alguien puede ofrecer un poco más de conocimiento. Gracias.

Answer 1

Para demostrar la primera identidad basta con considerar que $$ \frac{e^x-1}{x}\cdot\frac{x}{e^x-1}=1.$$ Ahora escribe ambos factores como series de Taylor en torno a $x=0$ y tomar el producto de Cauchy de dichas series.

Para demostrar la identidad de Euler, considera que: $$\frac{d}{dx}\frac{1}{e^x-1} = -\frac{e^x}{(1-e^x)^2} = \frac{1}{1-e^x}\cdot\left(-1+\frac{1}{1-e^x}\right)$$ entonces toma la serie de Laurent del LHS alrededor de $x=0$ y compararlo con el producto de las series de Laurent para los factores en el lado derecho.

Answer 2

Creo que lo he descubierto.

Así que tengo $$\sum_{j=0}^{k}{\binom{k}{j}B_jB_{k-j}}=(1-k)B_k-kB_{k-1}$$ Pero $$\sum_{j=0}^{k}{\binom{k}{j}B_jB_{k-j}}=2B_0B_k+2B_1B_{k-1}+\sum_{j=2}^{k-2}B_jB_{k-j}$$ Desde $B_0=1, B_1=-1/2, \binom{k}{0}=1, \binom{k}{1}=k$ , $$\sum_{j=0}^{k}{\binom{k}{j}B_jB_{k-j}}=2B_k-kB_{k-1}+\sum_{j=2}^{k-2}B_jB_{k-j}=B_k-kB_k-kB_{k-1}$$ Por lo tanto, la innecesaria $B_{k-1}$ término desaparece y me quedo con $$\sum_{j=2}^{k-2}\binom{k}{j}B_jB_{k-j}=-B_k-kB_k=-(k+1)B_k$$